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18.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,將它沿高AD翻折,使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為2,則四面體ABCD外接球表面積為( �。�
A.16πB.\frac{32π}{3}C.\frac{52π}{3}D.\frac{13π}{3}

分析 三棱錐B-ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD、DC⊥DA,底面是正三角形,它的外接球就是它擴(kuò)展為正三棱柱的外接球,求出正三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離,就是球的半徑,然后求球的表面積即可.

解答 解:根據(jù)題意可知三棱錐B-ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD、DC⊥DA,底面是正三角形,它的外接球就是它擴(kuò)展為正三棱柱的外接球,求出正三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離,就是球的半徑,
正三棱柱ABC-A1B1C1的中,底面邊長(zhǎng)為1,棱柱的高為2\sqrt{3}
由題意可得:三棱柱上下底面中點(diǎn)連線的中點(diǎn),到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等,說(shuō)明中心就是外接球的球心,
∴正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心為O,外接球的半徑為r,表面積為:4πr2
球心到底面的距離為\sqrt{3},
底面中心到底面三角形的頂點(diǎn)的距離為:\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2=\frac{2\sqrt{3}}{3}
所以球的半徑為r=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(\frac{2\sqrt{3}}{3})^{2}}=\sqrt{\frac{13}{3}}
外接球的表面積為:4πr2=\frac{52π}{3}
故選:C.

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間想象能力,計(jì)算能力;三棱柱上下底面中點(diǎn)連線的中點(diǎn),到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等,說(shuō)明中心就是外接球的球心,是本題解題的關(guān)鍵.

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