Question

已知兩圓C₁：（x+4）²+y²=2，C₂：（x-4）²+y²=2，動(dòng)圓M與兩圓C₁，C₂都相切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是

1. A.
   x=0
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由于動(dòng)圓與兩個(gè)定圓都相切，可分兩類(lèi)考慮，若動(dòng)圓與兩定圓相外切或與兩定圓都內(nèi)切，可以得出動(dòng)圓與兩定圓圓心的距離相等，故動(dòng)圓圓心M的軌跡是一條直線，且是兩定圓圓心連線段的垂直平分線．若一內(nèi)切一外切，則到兩圓圓心的距離差是一個(gè)常數(shù)，由雙曲線的定義知，此種情況下軌跡是雙曲線．
解答：由題意，①若兩定圓與動(dòng)圓相外切或都內(nèi)切，即兩圓C₁：（x+4）²+y²=2，C₂：（x-4）²+y²=2，動(dòng)圓M與兩圓C₁，C₂都相切，
∴|MC₁|=|MC₂|，即M點(diǎn)在線段C₁，C₂的垂直平分線上
又C₁，C₂的坐標(biāo)分別為（-4，0）與（4，0）
∴其垂直平分線為y軸，
∴動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是x=0
②若一內(nèi)切一外切，不妨令與圓C₁：（x+4）²+y²=2內(nèi)切，與圓C₂：（x-4）²+y²=2外切，則有M到的距離減到的距離的差是2，由雙曲線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以（-4，0）與（4，0）為焦點(diǎn)，以為實(shí)半軸長(zhǎng)的雙曲線，故可得b²=c²-a²=14，故此雙曲線的方程為
綜①②知，動(dòng)圓M的軌跡方程為
應(yīng)選D．
點(diǎn)評(píng)：考查圓與圓的位置關(guān)系，及垂直平分線的定義．