Question

在同一平面直角坐標系中，已知函數y=f（x）的圖象與y=e^x的圖象關于直線y=x對稱，則函數y=f（x）對解析式為

 

；其應的曲線在點（e，f（e））處的切線方程為

 

．

Answer 1

分析：第一空：根據兩函數的圖象關于y=x對稱可知，兩函數互為反函數，所以求出已知函數的反函數即可得到f（x）的解析式；
第二空：求出f（x）的導函數，把x等于e代入導函數求出值即為切線方程的斜率，然后把x等于e代入f（x）中求出切點的縱坐標，根據切點坐標和斜率寫出切線方程即可．

解答：解：根據題意，函數y=f（x）的圖象與y=e^x的圖象關于直線y=x對稱，
由y=e^x，
解得x=lny，
所以f（x）=lnx；
f′(x)=

1

x

，所以切線的斜率k=f′（e）=

1

e

，
把x=e代入f（x）中得：f（e）=lne=1，所以切點坐標為（e，1）
則所求的切線方程為：y-1=

1

e

（x-e），化簡得：y=

1

e

x
故答案為：f（x）=lnx；y=

1

e

x

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，掌握兩函數互為反函數的條件，會根據一點和斜率寫出直線的方程，是一道綜合題．