Question

已知等差數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項和S_n滿足S_n=

3n-1

2

．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式； 
（2）若c_n=

an(n為奇數(shù)) bn(n為偶數(shù))

，求數(shù)列{c_n}的前2n+1項和T_2n+1．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用題中的已知條件分別用解方程和遞推關系式求數(shù)列的通項公式．注意對首項的驗證．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論利用分類的方法進行求和，注意數(shù)列的項數(shù)．

解答： 解：（1）等差數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，
解方程x²-12x+27=0
解得：x₁=3，x₂=9
由題意得：a₁=3，a₂=9
進而求得：a_n=2n-1．
由S_n=

3n-1

2

當n=1時，b₁=S₁=1；
當n≥2時，bn=Sn-Sn-1=

3n-1

2

-

3n-1-1

2

=3^n-1．又因為b₁=1適合公式，
所以bn=3n-1．
（2）因為c_n=

an(n為奇數(shù)) bn(n為偶數(shù))

，
所以：T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_2n+c_2n+1
=a₁+b₂+a₃+b₄+…+b_2n+a_2n+1
=（a₁+a₃+…+a_2n+1）+（b₂+b₄+…+b_2n）
=

(n+1)(a1+a2n+1)

2

+

b2-9b2n

1-9

=(n+1)(2n+1)+

32n+1-3

8

點評：本題考查的知識要點：等差和等比數(shù)列通項公式的求法，用分類求和的方法求數(shù)列的前n項和，屬于基礎題型．