Question

已知A={（x，y）|y=ax+b}，B={（x，y）|y=3x²+15}，C={（x，y）|x²+y²≤144}，問是否存在a，b∈R使得下列兩個命題同時成立：
（1）A∩B≠∅；
（2）（a，b）∈C．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由集合A和B交集不為空集，可聯(lián)立兩集合中的兩函數解析式，消去y得到關于x的一元二次方程，此方程有解，得到根據的判別式大于等于0，列出關于a與b的不等式，記作①，又（a，b）屬于集合C，把（a，b）代入集合C中的不等式得到關于a與b的不等式，記作②，由不等式的性質得到（b-6）²≤0，進而得到b=6，把b的值代入①和②可求出a的值，進而求出A∩B≠φ 和（a，b）∈C同時成立時a與b的值．

解答： 解：聯(lián)立方程得方程組

y=ax+b y=3x2+15

消去y得方程3x²-ax+15-b=0．
要滿足條件（1），需要△=a²-12（15-b）≥0，①
要滿足條件（2），需要a²+b²≤144，
∴a²≤144-b²，②
由144-b²≥12（15-b），即（b-6）²≤0，
∴b=6，
代入①，②得108≤a²≤108，
∴a²=108，∴a=±6

3

，
∴當a=±6

3

且b=6時，A∩B≠∅和（a，b）∈C同時成立．

點評：此題考查了二次函數與一元二次方程的關系，元素與集合的關系，以及交集、空集的意義，解題時注意運用完全平方式為非負數，以及不等式的基本性質來解決問題．