(2013•南通一模)已知數(shù)列{an}滿足:a1=2a-2,an+1=aan-1+1 (n∈N*)
(1)若a=-1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若a=3,試證明:對?n∈N*,an是4的倍數(shù).
分析:(1)由題意,令bn=an-1,則b1=-5,bn+1=(-1)bn,從而可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若a=3,a1=-4,an+1=3an-1+1,利用數(shù)學(xué)歸納法,結(jié)合二項(xiàng)式定理,即可證明結(jié)論.
解答:(1)解:a=-1時,a1=-4,an+1=aan-1+1
令bn=an-1,則b1=-5,bn+1=(-1)bn
∵b1=-5為奇數(shù),bn也是奇數(shù)且只能為-1
bn=
-5,n=1
-1,n≥2
,即an=
-4,n=1
0,n≥2

(2)證明:a=3時,a1=-4,an+1=3an-1+1
①n=1時,a1=-4,命題成立;
②設(shè)n=k時,命題成立,則存在t∈N*,使得ak=4t
ak+1=3ak-1+1=34t-1+1=27•(4-1)4(t-1)+1
∵(4-1)4(t-1)=44(t-1)-
C
1
4(t-1)
44t-5
+…+
C
4t-3
4(t-1)
4+1=4m+1,m∈Z
ak+1=3ak-1+1=27•(4m+1)+1=4(27m+7)
∴n=k+1時,命題成立
由①②可知,對?n∈N*,an是4的倍數(shù).
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列遞推式,考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用,考查二項(xiàng)式定理,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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(2013•南通一模)已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
的一個焦點(diǎn)與圓x2+y2-10x=0的圓心重合,且雙曲線的離心率等于
5
,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
5
-
y2
20
=1
x2
5
-
y2
20
=1

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(2013•南通一模)已知命題p:“正數(shù)a的平方不等于0”,命題q:“若a不是正數(shù),則它的平方等于0”,則p是q的
否命題
否命題
.(從“逆命題、否命題、逆否命題、否定”中選一個填空)

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(2013•南通一模)曲線f(x)=
f′(1)
e
ex-f(0)x+
1
2
x2
在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為
y=ex-
1
2
y=ex-
1
2

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(2013•南通一模)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S9=-36,S13=-104,則a5與a7的等比中項(xiàng)為
±4
2
±4
2

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