已知動點(diǎn)P到直線y=1的距離比它到點(diǎn)F(0,)的距離大
(Ⅰ)求動點(diǎn)P的軌跡方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)P的軌跡上不存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l:y=m(x-3)對稱,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】分析:(Ⅰ)轉(zhuǎn)化題中的條件,應(yīng)用拋物線的定義求出點(diǎn)P的軌跡方程.
(Ⅱ)假設(shè)點(diǎn)P的軌跡上點(diǎn)A,B關(guān)于直線l對稱,利用中點(diǎn)在對稱軸上及斜率間的關(guān)系和判別式大于0,得到實(shí)數(shù)m的取值范圍,再把此范圍在實(shí)數(shù)集內(nèi)取補(bǔ)集.
解答:解::(Ⅰ)據(jù)題意可知,點(diǎn)P到直線y=-的距離等于它到點(diǎn)F(0,)的距離,
所以點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F(0,)為交點(diǎn),直
線y=-為準(zhǔn)線的拋物線.(3分)
因?yàn)閜=,拋物線開口向上,故
點(diǎn)P的軌跡方程是x2=y.
(Ⅱ)若m=0,則直線l為x軸,
此時(shí)拋物線x2=y與直線l相切.
若m≠0,設(shè)與直線l垂直的直線為l′:y=-x+b,
代入y=x2,得x2+x-b=0(*)
設(shè)直線l′與拋物線的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1=x2=-,
從而y1+y2=-(x1+x2)+2b=+2b.
假設(shè)點(diǎn)A,B關(guān)于直線l對稱,
則AB的中點(diǎn)(,)在l上,
所以+b=m(-3),
即b=--3m-
由于方程(*)有兩個(gè)不相等的實(shí)根,則△=+4b>0.
所以+4(--3m-)>0,
整理得12m3+2m2+1<0,
即(2m+1)(6m2-2m+1)<0.
由6m2-2m+1=6+>0恒成立,
所以2m+1<0,
即m<-
所以當(dāng)m<-時(shí),拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l對稱.
故當(dāng)拋物線y=x2上不存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l:y=m(x-3)對稱時(shí),
實(shí)數(shù)m的取值范圍是[,+∞).
點(diǎn)評:本題考查用定義法求軌跡方程,直線與拋物線的位置關(guān)系綜合應(yīng)用,體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
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已知動點(diǎn)P到直線y=1的距離比它到點(diǎn)F(0,
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)的距離大
3
4

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(Ⅱ)若點(diǎn)P的軌跡上不存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l:y=m(x-3)對稱,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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已知動點(diǎn)P到直線l:x=--
4
3
3
的距離d1,是到定點(diǎn)F(-
3
,0
)的距離d2
2
3
3
倍.
(1) 求動點(diǎn)P的軌跡方程;
(2) 若直線m:y=k(x+1)(k≠o)與點(diǎn)P的軌跡有兩個(gè)交點(diǎn)A、B,求弦AB的中垂線n在y軸上的截距y0的取值范圍.

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已知動點(diǎn)P到直線y=1的距離比它到點(diǎn)F(0,
1
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3
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(Ⅰ)求動點(diǎn)P的軌跡方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)P的軌跡上不存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l:y=m(x-3)對稱,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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已知動點(diǎn)P到直線y=1的距離比它到點(diǎn)F(0,)的距離大
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(Ⅱ)若點(diǎn)P的軌跡上不存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l:y=m(x-3)對稱,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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