【題目】已知橢圓C：（）的離心率為，且過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作圓的一條切線，交橢圓于另一點(diǎn)P，連接，證明：.

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，由，，結(jié)合求解.

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得直線的方程為或，驗(yàn)證即可. 當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，根據(jù)直線與圓相切，得到，設(shè)，，則，聯(lián)立，由弦長(zhǎng)公式求得 ，然后由兩點(diǎn)間的距離公式，將韋達(dá)定理代入求得即可.

（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，因?yàn)闄E圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).

所以，，又，

解得，，

所以橢圓C的方程為：.

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，依題意，可得直線的方程為或.

若直線：，直線：，可得，，，

則，，所以；

其他情況，由對(duì)稱性，同理可得.

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

∵直線與圓相切，

∴圓心O到直線的距離為，即，

設(shè)，，則，

聯(lián)立，消元y，整理得，

則，.

∴，

∵，

，

∴.

∵，

∴.

綜上可知成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓，A為C的上頂點(diǎn)，過(guò)A的直線l與C交于另一點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)D，O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）若，求l的方程；

（2）已知P為AB的中點(diǎn)，y軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得？若存在，求Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為.

（1）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（2）若，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某工廠質(zhì)檢部門要對(duì)該廠流水線生產(chǎn)出的一批產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，如果檢查到第件仍未發(fā)現(xiàn)不合格品，則此次檢查通過(guò)且認(rèn)為這批產(chǎn)品合格，如果在尚未抽到第件時(shí)已檢查到不合格品則拒絕通過(guò)且認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格.設(shè)這批產(chǎn)品的數(shù)量足夠大，可以認(rèn)為每次檢查查到不合格品的概率都為，即每次抽查的產(chǎn)品是相互獨(dú)立的.

（1）若，求這批產(chǎn)品能夠通過(guò)檢查的概率；

（2）已知每件產(chǎn)品質(zhì)檢費(fèi)用為50元，若，設(shè)對(duì)這批產(chǎn)品的質(zhì)檢個(gè)數(shù)記作，求的分布列；

（3）在（2）的條件下，已知1000批此類產(chǎn)品，若，則總平均檢查費(fèi)用至少需要多少元？（總平均檢查費(fèi)用每批次平均檢查費(fèi)用批數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn) 在曲線：，（為參數(shù)，）上運(yùn)動(dòng)，以為極軸建立極坐標(biāo)系.直線的極坐標(biāo)方程為.

(Ⅰ)寫(xiě)出曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

(Ⅱ)若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上移動(dòng)，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，某十字路口的花圃中央有一個(gè)底面半徑為的圓柱形花柱，四周斑馬線的內(nèi)側(cè)連線構(gòu)成邊長(zhǎng)為的正方形.因工程需要，測(cè)量員將使用儀器沿斑馬線的內(nèi)側(cè)進(jìn)行測(cè)量，其中儀器的移動(dòng)速度為，儀器的移動(dòng)速度為.若儀器與儀器的對(duì)視光線被花柱阻擋，則稱儀器在儀器的“盲區(qū)”中.

（1）如圖，斑馬線的內(nèi)側(cè)連線構(gòu)成正方形，儀器在點(diǎn)處，儀器在上距離點(diǎn)處，試判斷儀器是否在儀器的“盲區(qū)”中，并說(shuō)明理由；

（2）如圖，斑馬線的內(nèi)側(cè)連線構(gòu)成正方形，儀器從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)移動(dòng)，同時(shí)儀器從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)移動(dòng)，在這個(gè)移動(dòng)過(guò)程中，儀器在儀器的“盲區(qū)”中的時(shí)長(zhǎng)為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在上且平面，在延長(zhǎng)線上，，交于，且

(1)證明：平面；

(2)設(shè)點(diǎn)在線段上，若二面角為，求的長(zhǎng)度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線，直線l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），直線l與曲線C分別交于M，N兩點(diǎn).

（1）寫(xiě)出曲線C和直線l的普通方程；

（2）若點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）．

（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值與曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若，且當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的最大值．（）

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