Question

已知橢圓的左右焦點分別為,短軸兩個端點為,且四邊形是邊長為2的正方形.

(1)求橢圓的方程;

(2)若分別是橢圓長軸的左右端點,動點滿足,連接,交橢圓于點.證明:為定值;

(3)在(2)的條件下,試問軸上是否存在異于點的定點,使得以為直徑的圓恒過直線的交點,若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.

 

 

Answer 1

(1) ；（2）證明見解析；（3）存在，.

【解析】

試題分析：（1）由橢圓的幾何性質(zhì)知，，結(jié)合可很快求得，這樣就得出了橢圓的標準方程；（2）若，，則，因此我們要把用表示出來，先用把直線方程寫出，然后與橢圓方程聯(lián)立解方程組可得（注意消去得關(guān)于的二次方程，這個二次方程有一個解是，另一解是，這樣很容易得到，于是有）；（3）這是存在性命題，總是假設(shè)點存在，設(shè)，由題意則應該有，即，而點的坐標在（2）中已經(jīng)用表示出來了，因此利用若能求出，則說明符合題意的點存在，否則就不存在．

(1),,橢圓方程為 4分

(2),設(shè),則.

直線:,即,

代入橢圓得

,.

,

(定值). 10分

(3)設(shè)存在滿足條件,則.

,,

則由得 ,從而得.

存在滿足條件 16分

考點：（1）橢圓標準方程；（2）解析幾何中的定值問題；（3）解析幾何中的存在性命題．