Question

直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)（2，-2）在矩陣M=

0   1 a   0

對(duì)應(yīng)變換作用下得到點(diǎn)（-2，4），曲線C：x²+y²=1在矩陣M對(duì)應(yīng)變換作用下得到曲線C′，
（1）求曲線C′的方程．
（2）求矩陣M的特征值和特征向量．

Answer 1

考點(diǎn)：幾種特殊的矩陣變換

專題：矩陣和變換

分析：本題（1）可利用已知點(diǎn)在矩陣作用下點(diǎn)的坐標(biāo)，得到關(guān)于參數(shù)的方程，解出方程求出矩陣，再通過(guò)矩陣變換得到點(diǎn)的變化關(guān)系，用代入法求出曲線的方程；（2）通過(guò)特征多項(xiàng)式求出特征值，再通過(guò)方程組求出相應(yīng)的特征向量．

解答：解：∵點(diǎn)（2，-2）在矩陣M=

0   1 a   0

對(duì)應(yīng)變換作用下得到點(diǎn)（-2，4），
∴

0 1 a 0

2 -2

=

-2 4

，
∴2a=4，
∴a=2．
設(shè)曲線C上一點(diǎn)P（x，y）在矩陣M對(duì)應(yīng)變換作用下，對(duì)應(yīng)曲線C′上一點(diǎn)P′（x′，y′）．
∵

0 1 2 0

x y

=

x′ y′

，
∴

y=x′ 2x=y′

，
∵曲線C：x²+y²=1，
∴

y′2

4

+x′2=1，
∴曲線C′的方程為x2+

y2

4

=1．
（2）矩陣M=

0 1 2 0

的特征多項(xiàng)式為：f(λ)=

.

λ -1 -2 λ

.

=λ²-2．
令f（λ）=0，λ=±

2

，
當(dāng)λ=

2

時(shí)，

2 x-y=0 -2x+ 2 y=0

，取x=1，則y=

2

，α=

1 2

；
當(dāng)λ=-

2

時(shí)，

- 2 x-y=0 -2x- 2 y=0

，取x=1，則y=-

2

，α=

1 - 2

．
∴矩陣M的特征值為

2

，-

2

，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為

1 2

，

1 - 2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩陣與向量的積、矩陣的特征值特征向量以及利用矩陣變換研究曲線的方程等知識(shí)，有一定的計(jì)算量，屬于中檔題．