Question

已知函數(shù)f（x）=x-1-alnx（a∈R））．
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線的方程為3x-y-3=0，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求證：f（x）≥0恒成立的充要條件是a=1；
（3）若a＜0，且對(duì)任意x₁，x₂∈（0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|-|，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，建立等式關(guān)系即可求出a的值；
（2）先證充分性，當(dāng)a=1時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值即可，然后證明必要性，討論a的符號(hào)使f（x）≥0恒成立，求出a的值即可；
（3）設(shè)h（x）=f（x）+=x-1-alnx+，則|f（x₁）-f（x₂）|≤4|-|等價(jià)于函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)即使x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，然后利用分離法將a分離出來(lái)，從而求出a的范圍．
解答：解：（1）∵f'（x）=1-，∴f'（1）=1-a
∴曲線y=f（x）在x=1處的切線的斜率為1-a
∵曲線y=f（x）在x=1處的切線的方程為3x-y-3=0，
∴1-a=3，解得a=-2
（2）①充分性
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-1-lnx，f'（x）=1-=
∴當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，
∴f（x）≥f（1）=0
②必要性
f'（x）=1-=，其中x＞0
（i）當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0恒成立，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
而f（1）=0，所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜0，與f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a≤0不滿足題意．
（ii）當(dāng)a＞0時(shí)，∵x＞a時(shí)，f'（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（a，+∞）上是增函數(shù)；
0＜x＜a時(shí)，f'（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在（0，a）上是減函數(shù)；
∴f（x）≥f（a）=a-1-alna
∵f（1）=0，所以當(dāng)a≠1時(shí)，f（a）＜f（1）=0，此時(shí)與f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a=1
綜上所述，f（x）≥0恒成立的充要條件是a=1；
（3）由（2）可知，
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1]上是增函數(shù)，又函數(shù)y=在（0，1]上是減函數(shù)
不妨設(shè)0＜x₁≤x₂≤1
則|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₂）-f（x₁），
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤4|-|即f（x₂）+4×≤f（x₁）+4×
設(shè)h（x）=f（x）+=x-1-alnx+，
則|f（x₁）-f（x₂）|≤4|-|等價(jià)于函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)
因?yàn)閔'（x）=1--=，所以x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，
即a≥x-在（0，1]上恒成立，即a不小于y=x-在（0，1]內(nèi)的最大值．
而函數(shù)y=x-在（0，1]是增函數(shù)，所以y=x-的最大值為-3
所以a≥-3，又a＜0，所以a∈[-3，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及充要條件的證明和恒成立問(wèn)題的應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．