Question

（周練變式）已知命題p：函數y=

x-5

x-a-2

在（-1，+∞）上單調遞增；命題q：函數g（x）=lg[（1-a²）x²+3（1-a）x+6]的值域為R．如果命題p或q為真，p且q為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：導數的綜合應用,簡易邏輯

分析：先根據函數單調性和函數導數符號的關系，對數函數的值域，及定義域即可求出命題p，q下的a的取值范圍，再根據p或q為真，p且q為假得p，q一真一假，所以分別求出p真q假，p假q真時的a的取值范圍，再求并集即可．

解答： 解：命題p為真命題：y′=

3-a

(x-a-2)2

＞0，且x-a-2＞0在（-1，+∞）上恒成立，即-1-a-2≥0，a≤-3；
∴a≤-3；
命題q為真命題：（1）若1-a²=0，經檢驗a=-1符合條件；
（2）若1-a²≠0，∵g（x）的值域為R，∴函數（1-a²）x²+3（1-a）x+6的取值是（0，+∞），則：

1-a2＞0 △=9(1-a)2-24(1-a2)≥0

，解得a∈(-1，-

5

11

]；
綜合（1）（2）得a∈[-1，-

5

11

]；
根據題意知，命題p、q有且只有一個為真命題；
當p真q假時：a≤-3，且a＜-1，或a＞-

5

11

，∴a≤-3；
當p假q真時：a＞-3，或-1≤a≤-

5

11

，∴-1≤a≤-

5

11

；
綜上：a≤-3，或-1≤a≤-

5

11

；
∴實數a的取值范圍為（-∞，-3]∪[-1，-

5

11

]．

點評：考查函數單調性和函數導數符號的關系，對數函數的值域，對數函數的定義域，p或q，p且q的真假和p，q真假的關系．