Question

9．已知函數(shù)y=cosx[cosx-cos（x+$\frac{π}{3}$）]．求
（1）該函數(shù)的周期；
（2）單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）最大值和最小值，并寫出求得最值時的x的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡可得y=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，由周期公式可得；
（2）解2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）函數(shù)最大值為$\frac{3}{4}$，函數(shù)最小值為-$\frac{1}{4}$，分別整體可得x的取值集合．

解答 解：（1）由三角函數(shù)公式化簡可得y=cosx[cosx-cos（x+$\frac{π}{3}$）]
=cosx（cosx-$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）=cosx（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）
=$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx=$\frac{1}{4}$（1+cos2x）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x
=$\frac{1}{4}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，
∴該函數(shù)的周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，解得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
（3）函數(shù)最大值為$\frac{3}{4}$，此時sin（2x+$\frac{π}{6}$）=1即2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，
解得x=kπ+$\frac{π}{6}$，故此時x的取值集合為{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}；
函數(shù)最小值為-$\frac{1}{4}$，此時sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-1即2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，
解得x=kπ-$\frac{π}{3}$，故此時x的取值集合為{x|x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z}．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性以及最值，屬中檔題．