(理科)2013年將舉辦的第十二屆中國•東海國際水晶節(jié),主題為“水晶之都•福如東!,于9月28日在國內(nèi)唯一水晶博物館正式開幕.為方便顧客,在休息區(qū)200m2的矩形區(qū)域內(nèi)布置了如圖所示的休閑區(qū)域(陰影部分),已知下方是兩個相同的矩形.在休閑區(qū)域四周各留下1m寬的小路,若上面矩形部分與下方矩形部分高度之比為1:2.問如何設計休息區(qū)域,可使總休閑區(qū)域面積最大.
分析:設整個休息區(qū)域的寬為xm,建立休閑區(qū)域面積對應的函數(shù)關系式,利用基本不等式進行求解即可.
解答:解:設整個休息區(qū)域的寬為xm,則高為
200
x
m.
下方矩形寬為
x-3
2
,高為(
200
x
-3)×
2
3
=
400
3x
-2

上方矩形寬為x-2,高為(
200
x
-3)×
1
3
=
200
3x
-1
.        
則休閑區(qū)域面積y=2×
x-3
2
×(
400
3x
-2)+(x-2)×(
200
3x
-1)
=208-(
1600
3x
+3x)
≤208-2
1600
3x
×3x
=128
m2.       
當且僅當
1600
3x
=3x
,即x=
40
3
m時,上式取等號.
答:當矩形的寬為
40
3
m,高為15m時,休閑區(qū)域面積最大.
點評:本題主要考查函數(shù)的應用題,利用基本不等式進行求解是解決本題的關鍵.考查學生的運算能力.
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