Question

【題目】記（，）.

（1）求函數的零點；

（2）設、、均為正整數，且為最簡根式，若存在，使得可唯一表示為的形式（），求證：；

（3）已知，是否存在，使得

成立，若存在，試求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明略；（3）存在.

【解析】

（1）寫出F（x）的解析式，解方程F（x）=0，可得零點；

（2）由題意可得，，兩式相乘可得證明。

（3）由條件可得t+s=ts，假設存在n1∈N*，使得成立，化簡整理求出滿足條件的t，s和n1的值。

（1）函數F（x）=f2（x-1）-1=（x-1）2-1，x＞1，

由F（x）=0，解得x=2（0舍去），

即有F（x）的零點為2

（2）證明：若存在n0∈N*，

使得可唯一表示為的形式（）

即有，

兩式相乘可得|ξ2-η2μ|n0=T-（T-1）=1

可得|ξ2-η2μ|=1

（3）假設存在n1∈N*，使得成立

由f-1（t）+f-1（s）=1，可得t-1+s-1=1，即t+s=ts

由假設可得

即為

即有

可取t=s=2，n1可取一切正整數，上式成立。

則存在n1∈N*，使得成立