【題目】對任意正整數(shù)n，設(shè)an是方程x2+ =1的正根．求證：
（1）an+1＞an；
（2） + +…+ ＜1+ + +…+ ．

【答案】
（1）證明：an是方程x2+ =1的正根，

解得an= ，

由分子有理化，可得an=

= ，

由 ， 在n∈N*上遞減，

可得an為遞增數(shù)列，

即為an+1＞an


（2）證明：由an= ，可得

= ，

由 ＜ 2n﹣1＜

1+4n2﹣4n＜1+4n2﹣4n＜0，顯然成立，

即有 + +…+ ＜1+ + +…+

＜1+ + +…+ ．


【解析】（1）解方程可得an= ，再由分子有理化，結(jié)合 ， 在n∈N*上遞減，即可得證；（2）求出 = ，分析法可得 ＜ ，累加并運用不等式的性質(zhì)即可得證．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】袋中有大小相同的紅、黃兩種顏色的球各1個，從中任取1只，有放回地抽取3次． 求：
（1）3只全是紅球的概率；
（2）3只顏色全相同的概率；
（3）3只顏色不全相同的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|在區(qū)間（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣ax﹣4（a∈R）的兩個零點為x1 ， x2 ， 設(shè)x1＜x2 ．
（1）當(dāng)a＞0時，證明：﹣2＜x1＜0；
（2）若函數(shù)g（x）=x2﹣|f（x）|在區(qū)間（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）上均單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，∠BAC=10°，∠ACB=30°，將直線BC繞AC旋轉(zhuǎn)得到B1C，直線AC繞AB旋轉(zhuǎn)得到AC1 ， 則在所有旋轉(zhuǎn)過程中，直線B1C與直線AC1所成角的取值范圍為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】邊長為2的正方形ABCD所在的平面與△CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE，AE=1．

（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）設(shè)點F是棱BC上一點，若二面角A﹣DE﹣F的余弦值為 ，試確定點F在BC上的位置．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出n的值為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線l與曲線y2=4x（y≥0）交于A，D兩點（A在D的左側(cè)），A，D兩點在x軸上的射影分別為點B，C，且|BC|=2． （Ⅰ）當(dāng)點B的坐標(biāo)為（1，0）時，求直線AD的斜率；
（Ⅱ）記△OAD的面積為S1 ， 梯形ABCD的面積為S2 ， 求 的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AP⊥BP，AC⊥BC，∠PAB=60°，∠ABC=45°，D是AB中點，E，F(xiàn)分別為PD，PC的中點．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在點M，使得CM∥平面AEF？若存在，求 的值；若不存在，說明理由．

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