Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}（{x≤0}）\\{x^2}（{x＞0}）\end{array}\right.$若函數(shù)g（x）=f（x）-k（x-1）有且只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是k＜-1或k=4．

Answer 1

分析 若函數(shù)g（x）=f（x）-k（x-1）有且只有一個零點(diǎn)，則函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=k（x-1）的圖象有且只有一個交點(diǎn)，畫出函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=k（x-1）的圖象，數(shù)形結(jié)合，可得答案．

解答 解：若函數(shù)g（x）=f（x）-k（x-1）有且只有一個零點(diǎn)，
則函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=k（x-1）的圖象有且只有一個交點(diǎn)，
函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=k（x-1）的圖象如下圖所示：

函數(shù)y=k（x-1）的圖象恒過（1，0）點(diǎn)，
當(dāng)直線經(jīng)過（0，1）點(diǎn)時，k=-1，
當(dāng)直線與y=x²，的圖象相切時，
k（x-1）=x²的△=k²-4k=0，
解得：k=4，或k=0（舍去），
由圖可得：k＜-1或k=4．
故答案為：k＜-1或k=4

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是根的存在性及根的個數(shù)判斷，數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)的圖象，難度中檔．