已知直三棱柱ABC-A1B1C1的三視圖如圖所示，且D是BC的中點，
（Ⅰ）求證：A1B∥平面ADC1；
（Ⅱ）求二面角C1-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）試問線段A1B1上是否存在點E，使AE與DC1成60°角？若存在，確定E點位置，若不存在，說明理由。
（Ⅰ）證明：根據(jù)三視圖知：三棱柱是直三棱柱，
，，
連結，交于點O，連結OD，
由是直三棱柱，
得四邊形為矩形，
O為A1C的中點，
又D為BC中點，
所以OD為中位線，
所以∥OD，             
因為平面，平面，
所以∥平面。           
（Ⅱ）解：由是直三棱柱，
且，
故兩兩垂直，
如圖建立空間直角坐標系B-xyz ，      
∵BA=2，
則，
所以，，
設平面的法向量為，
則有所以，
取y=1，得，
易知平面ADC的法向量為，
由二面角是銳角，
得，
所以二面角的余弦值為。
（Ⅲ）解：假設存在滿足條件的點E，
因為E 在線段上，，，
故可設，其中，
所以，，
因為與成60°角，
所以，即，
解得λ=1，舍去λ=3，
所以當點E為線段中點時，AE與DC1成60°角。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4．E、F分別是棱CC1、AB中點．
（Ⅰ）求證：CF⊥BB1；
（Ⅱ）求四棱錐A-ECBB1的體積；
（Ⅲ）判斷直線CF和平面AEB1的位置關系，并加以證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等，且D，E，F(xiàn)分別為BC，BB1，AA1的中點．
（I） 求證：平面B1FC∥平面EAD；
（II）求證：BC1⊥平面EAD．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，已知直三棱柱ABC-A′B′C′，AC=AB=AA′=2，AC，AB，AA′兩兩垂直，E，F(xiàn)，H分別是AC，AB，BC的中點，
（I）證明：EF⊥AH；    
（II）求四面體E-FAH的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長為2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是A A1的中點．
（Ⅰ）求異面直線AB和C1D所成的角（用反三角函數(shù)表示）；
（Ⅱ）若E為AB上一點，試確定點E在AB上的位置，使得A1E⊥C1D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點D到平面B1C1E的距離．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC；M．N．P分別是棱BC．CC1．B1C1的中點．A1Q=3QA， BC=
2
AA1
（Ⅰ）求證：PQ∥平面ANB1；
（Ⅱ）求證：平面AMN⊥平面AMB1．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案