Question

17．已知函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$），則函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ+$\frac{π}{24}$，kπ+$\frac{7π}{24}$），k∈Z．

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再根據(jù)f（x）＞0，且f（x）單調(diào)遞減，求得x的范圍，即為所求．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+sin[$\frac{π}{2}$-（2x+$\frac{π}{6}$）]
=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+sin（$\frac{π}{3}$-2x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-sin（2x-$\frac{π}{3}$）
=$\sqrt{2}$cos[（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{12}$）．
則由函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$f（x）的單調(diào)增，可得f（x）＞0，且f（x）單調(diào)遞減，
∴2kπ≤2x-$\frac{π}{12}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{24}$≤x＜kπ+$\frac{7π}{24}$，
故函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ+$\frac{π}{24}$，kπ+$\frac{7π}{24}$），k∈Z，
故答案為：[kπ+$\frac{π}{24}$，kπ+$\frac{7π}{24}$），k∈Z．

點評 本題主要考查三角恒等變換，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，余弦函數(shù)的單調(diào)性以及值域，屬于中檔題．