Question

如圖，已知位于y軸左側(cè)的圓C與y軸相切于點（0，1）且被x軸分成的兩段圓弧長之比為1：2，過點H（0，t）的直線l于圓C相交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O．
（1）求圓C的方程；
（2）當t=1時，求出直線l的方程；
（3）求直線OM的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可知圓心在直線y=1上，設出圓與x軸的交點分別為A和B，由被x軸分成的兩段圓弧長之比為1：2得到∠ACB的度數(shù)，根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，得到半徑AC和CB的長，進而得到圓心C的坐標，根據(jù)圓心坐標和圓的半徑寫出圓C的方程即可；
（2）由t的值得到H的坐標，又直線l的斜率存在，設出直線l的方程，與圓的方程聯(lián)立即可求出兩交點坐標分別設為M和N，由以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得到

OM

與

ON

垂直，利用兩向量垂直時數(shù)量積為0，列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，寫出直線l的方程即可；
（3）設出直線OM的方程，根據(jù)直線OM與圓的位置關(guān)系是相交，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線OM的距離d，讓d小于圓C的半徑列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范圍．

解答：解：（1）因為位于y軸左側(cè)的圓C與y軸相切于點（0，1），所以圓心C在直線y=1上，
設圓C與x軸的交點分別為A、B，
由圓C被x軸分成的兩段弧長之比為2：1，得∠ACB=

2π

3

，
所以CA=CB=2，圓心C的坐標為（-

3

，1），
所以圓C的方程為：（x+

3

）²+（y-1）²=4．
（2）當t=1時，由題意知直線l的斜率存在，設直線l方程為y=mx+1，
由

y=m+1 (x+ 3 )2+(y+1)2=4

得

x=0 y=1

或

x= -4 m2+1 y= m2-4m+1 m2+1

，
不妨令M(

-4

m2+1

，

m2-4m+1

m2+1

)，N(0，1)，
因為以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過O（0，0），
所以

OM

•

ON

=(

-4

m2+1

，

m2-4m+1

m2+1

)•(0，1)=m

m2-4m+1

m2+1

=0，
解得m=2±

3

，所以所求直線l方程為y=(2+

3

)x+1或y=(2-

3

)x+1．
（3）設直線MO的方程為y=kx，
由題意知，

|-2k-1|

1+k2

≤2，解之得k≤

3

4

，
同理得，-

1

k

≤

3

4

，解之得k≤-

4

3

或k＞0．由（2）知，k=0也滿足題意．
所以k的取值范圍是(-∞，-

4

3

]∪[0，

3

4

]．

點評：此題考查學生掌握直線與圓的位置關(guān)系，掌握兩向量垂直時數(shù)量積的值為0，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，是一道中檔題．