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11.等差數(shù)列{an}中,a1=3,其前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù),b1=1,公比為q(q≠1),且a1+a2=12-q,S2=b2•q.
(I)求an與bn
(Ⅱ)求數(shù)列{1Sn}的前n項和Tn

分析 (1)由已知可知q2+q-12=0,解得q=3,d=6-q,求得d,根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列通項公式,即可求得an與bn;
(2)由(1)可知,求得數(shù)列{an}前n項和為Sn,1Sn=23×1nn+1=231n-1n+1),采用“裂項法”即可求得數(shù)列{1Sn}的前n項和Tn

解答 解:(1)等差數(shù)列{an}的公差為d,
a1+a2=12-q,S2=b2•q.
∴d=6-q,
∴12-q=b1•q2,
整理得:q2+q-12=0,解得:q=3或q=-4(舍去),
∴d=3,
an=3+3(n-1)=3n,
∴bn=3n-1
(2)數(shù)列{an}前n項和為Sn,Sn=3+3nn2=3nn+12
1Sn=23×1nn+1=231n-1n+1),
數(shù)列{1Sn}的前n項和Tn
Tn=23[(1-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1n-1n+1)],
=23(1-1n+1),
=2n3n+1,
數(shù)列{1Sn}的前n項和Tn=2n3n+1

點評 本題考查求數(shù)列的通項公式,等差數(shù)列前n項和公式,“裂項法”求數(shù)列的前n項和,考查計算能力,屬于中檔題.

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