Question

有下列五個命題：
①{a_n}為等比數(shù)列，S_n是其前n項和，則S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈成等比數(shù)列；
②在同一坐標系中，當x∈（-

π

2

，

π

2

）時，y=sinx與y=tanx的圖象有且只有一個交點；
③在一個四面體中，四個面有可能全是直角三角形；
④f（x）=x²-2x+5，x∈（-∞，1），則f^-1（x）=1+

x-4

，x∈（4，+∞）；
⑤當m²+

1

n(m-n)

的最小值為4．
其中直命題是

 

（填出所有真命題的編號）．

Answer 1

分析：對于①由于{a_n}為等比數(shù)列，S_n是其前n項和，若S_n=0，則可以加以判斷；
對于②由題意畫出在同一坐標系中，當x∈（-

π

2

，

π

2

）時，畫出y=sinx與y=tanx的圖象即可判斷；
對于③在一個四面體中，四個面有可能全是直角三角形，通過畫出實際圖形加以判斷；
對于④f（x）=x²-2x+5利用反函數(shù)的定義求出反函數(shù)即可；
對于⑤m²+

1

n(m-n)

利用均值不等式即可判斷．

解答：解：①因為{a_n}為等比數(shù)列，S_n是其前n項和，在若S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈求和為0時，則就不成等比數(shù)列；
②由題意畫出圖象為：易有當x∈（-

π

2

，

π

2

）時，y=sinx與y=tanx的圖象交點只有一個為（0，0），所以②正確；

③有空間想象出圖象為：

在正四棱錐中，點M為邊CD的中點，則四棱錐P-ODM即為四個面全為直角三角形的四棱錐，所以③正確；
④由于函數(shù)f（x）=x²-2x+5，x∈（-∞，1），所以值域為（4，+∞），令y=x²-2x+5=（x-1）²+4
?f-1(x)=1+

x-4

 （4，+∞），所以④正確；
⑤令y=m²+

1

n(m-n)

由于m，n的大小及正負都不知，有均值不等式的條件可以知道⑤錯．
故答案為：②③④

點評：此題考查了反函數(shù)的定義及求一個函數(shù)的反函數(shù)，還考查了學生的空間想象能力，及正弦函數(shù)與正切函數(shù)的圖象，還考查了均值不等式．