精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

如圖，已知直線 $數(shù)學公式$ 與拋物線 $數(shù)學公式$ 和圓 $數(shù)學公式$ 都相切，F(xiàn)是C₁的焦點．
（1）求m與a的值；
（2）設A是C₁上的一動點，以A為切點作拋物線C₁的切線，直線交y軸于點B，以FA，F(xiàn)B為鄰邊作平行四邊形FAMB，證明：點M在一條定直線上；
（3）在（2）的條件下，記點M所在的定直線為l₂，直線l₂與y軸交點為N，連接MF交拋物線C₁于P，Q兩點，求△NPQ的面積S的取值范圍．

（1）解：由已知，圓C₂：x²+（y+1）²=5的圓心為C₂（0，-1），半徑為 $\text{[math]}$
由題設圓心到直線l₁：y=2x+m的距離d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得m=-6（m=4舍去）．
設l₁與拋物線的相切點為A₀（x₀，y₀），又y′=2ax，∴2ax₀=2
∴x₀= $\text{[math]}$ ，y₀= $\text{[math]}$ ，代入直線方程得： $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴m=-6， $\text{[math]}$ ；
（2）證明：由（1）知拋物線C₁方程為y= $\text{[math]}$ ，焦點 F（0， $\text{[math]}$ ）
設 A（x₁， $\text{[math]}$ ），由（1）知以A為切點的切線l的方程為 $\text{[math]}$
令x=0，得切線l交y軸的B點坐標為（0，- $\text{[math]}$ ）
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（0，- $\text{[math]}$ ）
∵以FA，F(xiàn)B為鄰邊作平行四邊形FAMB，
∴ $\text{[math]}$ =（x₁，-3）
∵F是定點，∴點M在定直線 $\text{[math]}$ 上；
（3）解：直線MF：y=kx+ $\text{[math]}$ ，代入y= $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
∴x₁+x₂=6k，x₁x₂=-9．
∴S_△NPQ= $\text{[math]}$ |NF||x₁-x₂|= $\text{[math]}$ =9 $\text{[math]}$
∵k≠0，∴S_△NPQ＞9，
∴NPQ的面積S的取值范圍（9，+∞）．
分析：（1）利用圓心到直線的距離等于半徑求出m，再利用導函數(shù)與切線的關系求出a的值即可；
（2）先求出以A為切點的切線l的方程以及點A，B的表達式，再利用以FA，F(xiàn)B為鄰邊作平行四邊形FAMB，結(jié)合向量運算即可求出點M所在的定直線；
（3）設直線MF的方程代入拋物線方程，結(jié)合根與系數(shù)的關系及三角形面積公式得出面積的表達式，從而可求△NPQ的面積S的取值范圍．
點評：本題綜合考查圓與橢圓知識，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．

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已知拋物線G的頂點在原點，焦點在y軸正半軸上，點P（m，4）到其準線的距離等于5．
（I）求拋物線G的方程；
（II）如圖，過拋物線G的焦點的直線依次與拋物線G及圓x²+（y-1）²=1交于A、C、D、B四點，試證明|AC|•|BD|為定值；
（III）過A、B分別作拋物G的切線l₁，l₂且l₁，l₂交于點M，試求△ACM與△BDM面積之和的最小值．

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