【題目】如圖，三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且，，，，是棱的中點(diǎn).

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)平面，四邊形是矩形，由為中點(diǎn)，且，利用平面幾何知識(shí)，可得，又平面，所以，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可有平面，從而得證.

（2）分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，得到，，，，分別求得平和平面的法向量，代入二面角向量公式求解.

（1）證明：∵平面，

∴四邊形是矩形，

∵為中點(diǎn)，且，

∴，

∵，，，

∴.∴，

∵，∴與相似，

∴，∴，

∴，

∵，∴平面，

∴平面，

∵平面，∴，

∴平面，∴.

（2）如圖，

分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

設(shè)平面的法向量為，則，，

解得：，

同理，平面的法向量，

設(shè)二面角的大小為，

則.

即二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測(cè)驗(yàn)（指標(biāo)值滿(mǎn)分為100分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測(cè)驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖，則下面敘述不正確的是（ ）

A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算最強(qiáng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖1，在等腰中，，，分別為，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，在線(xiàn)段上，且。將沿折起，使點(diǎn)到的位置（如圖2所示），且。

（1）證明：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心.設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的值；

（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng). （為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）若的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值；

（2）若不等式恒成立，求正整數(shù)的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市據(jù)實(shí)際情況主要采取以下四種扶貧方式：第一，以工代賑方式，指政府投資建設(shè)基礎(chǔ)設(shè)施工程，組織貧困地區(qū)群眾參加工程建設(shè)并獲得勞務(wù)報(bào)酬，第二，整村推進(jìn)方式指以貧困村為具體幫扶對(duì)象，幫扶對(duì)口到村，資金安排到村，扶貧效益到戶(hù)，第三，科技扶貧方式，指組織科技人員深入貧困鄉(xiāng)村實(shí)地指導(dǎo)、技術(shù)培訓(xùn)等傳授科技知識(shí)，第四，移民搬遷方式，指對(duì)目前極少數(shù)居住在生存條件惡劣、自然資源貧乏地區(qū)的特困人口，實(shí)行自愿移民，該市為了2020年更好的完成精準(zhǔn)扶貧各項(xiàng)任務(wù)，2020年初在全市貧困戶(hù)（分一般貧困戶(hù)和“五特”戶(hù)兩類(lèi)）中隨機(jī)抽取了5000戶(hù)就目前的主要四種扶貧方式行了問(wèn)卷調(diào)查，支持每種扶貧方式的結(jié)果如表：

調(diào)查的貧困戶(hù)

支持以工代賑戶(hù)數(shù)

支持整村推進(jìn)戶(hù)數(shù)

支持科技扶貧戶(hù)數(shù)

支持移民搬遷戶(hù)數(shù)

一般貧困戶(hù)

1200

1600

200

五特戶(hù)（五保戶(hù)和特困戶(hù)）

100

100

已知在被調(diào)查的5000戶(hù)中隨機(jī)抽取一戶(hù)支持整村推進(jìn)的概率為0.36.

（Ⅰ）現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有參與調(diào)查的貧困戶(hù)中抽取50戶(hù)進(jìn)行深入訪(fǎng)談，問(wèn)應(yīng)在支持科技扶貧戶(hù)數(shù)中抽取多少戶(hù)？

（Ⅱ）雖然“五特”戶(hù)在全市的貧困戶(hù)所占比例不大，但本次調(diào)查要有意義，其中這次調(diào)查的“五特”戶(hù)戶(hù)數(shù)不能低于被調(diào)查總戶(hù)數(shù)的9.2%，已知，求本次調(diào)查有意義的概率是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若時(shí)，請(qǐng)討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若在上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2019年9月1日，《西安市生活垃圾分類(lèi)管理辦法》正式實(shí)施．根據(jù)規(guī)定，生活垃圾分為可回收物、有害垃圾、廚余垃圾和其他垃圾，個(gè)人和單位如果不按規(guī)定進(jìn)行垃圾分類(lèi)將面臨罰款，并納入征信系統(tǒng)．為調(diào)查市民對(duì)垃圾分類(lèi)的了解程度，某調(diào)查小組隨機(jī)抽取了某小區(qū)的100位市民，請(qǐng)他們指出生活中若干項(xiàng)常見(jiàn)垃圾的種類(lèi)，把能準(zhǔn)確分類(lèi)不少于3項(xiàng)的稱(chēng)為“比較了解”，少于三項(xiàng)的稱(chēng)為“不太了解”．調(diào)查結(jié)果如下：

0項(xiàng)

1項(xiàng)

2項(xiàng)

3項(xiàng)

4項(xiàng)

5項(xiàng)

5項(xiàng)以上

男（人）

1

5

15

8

6

7

3

女（人）

0

4

11

13

10

12

5

（1）完成如下列聯(lián)表并判斷是否有99%的把握認(rèn)為了解垃圾分類(lèi)與性別有關(guān)？

比較了解

不太了解

合計(jì)

男

女

合計(jì)

（2）從對(duì)垃圾分類(lèi)比較了解的市民中用分層抽樣的方式抽取8位，現(xiàn)從這8位市民中隨機(jī)選取兩位，求至多有一位男市民的概率．

附：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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