Question

4．設函數(shù)f（x）=$\frac{ax+1}{{e}^{x}}$（a∈R）．
（Ⅰ）當a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當a≤2時，證明：對任意x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可；
（Ⅱ）a≤0時，f（x）≤x+1成立，0＜a≤2時，令h（x）=$\frac{ax+1}{{e}^{x}}$-x-1，求出h（x）的單調(diào)性，從而證出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=$\frac{-ax+a-1}{{e}^{x}}$，
∵a＞0，e^x＞0，
∴由f′（x）≥0可得x≤$\frac{a-1}{a}$，
∴a＞0時，f（x）在（-∞，$\frac{a-1}{a}$]遞增；
（Ⅱ）（i）a≤0時，f（x）=$\frac{ax+1}{{e}^{x}}$，
由x≥0，得ax+1≤1，
∵e^x≥1，∴$\frac{ax+1}{{e}^{x}}$≤1，
而x+1≥1，∴f（x）≤x+1成立；
（ii）0＜a≤2時，令h（x）=$\frac{ax+1}{{e}^{x}}$-x-1，
則f（x）≤x+1成立等價于h（x）≤0，
h′（x）=$\frac{-ax+a-1}{{e}^{x}}$-1，
∵g（x）=-ax+a-1是減函數(shù)且x≥0，
∴g（x）_max=a-1≤1，
∴h′（x）＜0，h（x）在[0，+∞）遞減，
∴x≥0時，h（x）≤h（0）=0，
∴f（x）≤x+1恒成立，
綜上，a≤2時，對任意x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．