【題目】已知向量垂直于向量,向量垂直于向量.

1)求向量的夾角;

2)設(shè),且向量滿足,求的最小值;

3)在(2)的條件下,隨機選取一個向量,求的概率.

【答案】1;(2;(3.

【解析】

1)根據(jù)向量的垂直,轉(zhuǎn)化出方程組,求解方程組即可;

2)將向量賦予坐標(biāo),求得向量對應(yīng)點的軌跡方程,將問題轉(zhuǎn)化為圓外一點,到圓上一點的距離的最值問題,即可求解;

3)根據(jù)余弦定理,解得,以及的臨界狀態(tài)時,對應(yīng)的圓心角的大小,利用幾何概型的概率計算公式,即可求解.

1)因為

故可得

解得

由①-②可得

,解得

將其代入①可得,即

將其代入②可得

解得,又向量夾角的范圍為

故向量的夾角為.

2)不妨設(shè),

可得.

不妨設(shè)的起始點為坐標(biāo)原點,終點為C.

因此,點C落在以)為圓心,1為半徑的圓上(如圖).

因為,即

由圓的特點可知的最小值為,

即:.

3)當(dāng)時,因為,滿足勾股定理,

故容易得.

當(dāng)時,假設(shè)此時點落在如圖所示的F點處.如圖所示.

因為,由余弦定理容易得

,故.

所以,本題化為,在半圓上任取一點C,點C落在弧CF上的概率.

由幾何概型的概率計算可知:

的概率即為圓心角的弧度除以

.

練習(xí)冊系列答案
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1)證明:直線恒過定點;

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已知數(shù)列為等比數(shù)列,且從第3行開始,各行均構(gòu)成公差為的等差數(shù)列,,,.

(1)求數(shù)陣中第 列的數(shù) (用 、表示);

(2)求的值;

(3)2013是否在該數(shù)陣中,說明理由.

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A.①③B.①③④C.②③④D.①②④

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,則獎勵玩具一個;

,則獎勵水杯一個;

其余情況獎勵飲料一瓶.

假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻,四個區(qū)域劃分均勻.小亮準(zhǔn)備參加此項活動.

)求小亮獲得玩具的概率;

)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由.

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