已知斜三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直，ÐABC=90°，BC=2，AC=，且AA1^A1C，AA1=A1C．

（1）求側(cè)棱A1A與底面ABC所成角的大��；

（2）求側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小；

（3）求頂點(diǎn)C到側(cè)面A1ABB1的距離．

答案：
解析：

（1）解：作A1D^AC，垂足為D，由面A1ACC1^面ABC，得A1D^面ABC，∴ ÐA1AD為A1A與面ABC所成的角．∵ ÐAA1^A1C，AA1=A1C，∴ ÐA1AD=45°為所求的二面角．（2）解：作DE^AB，垂足為E，連A1E，則由A1D^面ABC，得A1E^AB  ∴ ÐA1ED是面A1ABB1與面ABC所成二面角的平面角．由已知，AB^BC，得ED∥BC，又D是AC的中點(diǎn)，BC=2，  ∴ DE=1， 故ÐA1ED=60°為所求．

（3）解法一：由點(diǎn)C作面A1ABB1的垂線，垂足為H，則CH的長(zhǎng)是C到面A1ABB1的距離．連結(jié)HB，由于AB^BC，得AB^HB，又A1E^AB，知HB∥A1E，且BC∥ED，∴ ÐHBC=ÐA1ED=60°  ∴ 為所求．

解法二：連結(jié)A1B，根據(jù)定義，點(diǎn)C到面A1ABB1的距離，即為三棱錐CA1AB的高h．由

  得．即∴

為所求距離．


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BB1C1C是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠B1BC=60°，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC，∠ABC=90°，二面角A-B1B-C為30°．
（1）求證：AC⊥平面BB1C1C；
（2）求AB1與平面BB1C1C所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，側(cè)棱與底面所成角為
π3
，頂點(diǎn)B1在底面ABC上的射影D在AB上．
（1）求證：側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC；
（2）證明：B1C⊥C1A；
（3）求二面角B1-BC-A的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面ABB1A1是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠A1AB=60°，M是AB的中點(diǎn)，MA1⊥AC．
（1）求證：MA1⊥平面ABC；
（2）求點(diǎn)M到平面AA1C1C的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°AC=BC=a，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，又A1B⊥AC1．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）求AA1與平面ABC所成的角；
（Ⅲ）求二面角B-AA1-C的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•梅州二模）如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)B1在底面ABC上的射影落在BC上，CA=CB=a，AB=
2
a．
（1）求證：AC⊥平面BCC1B1；
（2）當(dāng)BB1與底面ABC所成的角為60°，且AB1⊥BC1時(shí)，求點(diǎn)B1到平面AC1的距離．

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