已知A、B、C是直線l上的三點,向量
OA
、
OB
OC
滿足
OA
-(y+1-lnx)
OB
+
1-x
ax
OC
=
o
,(O不在直線l上a>0)
(1)求y=f(x)的表達式;
(2)若函數(shù)f(x)在[1,∞]上為增函數(shù),求a的范圍;
(3)當a=1時,求證lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
,對n≥2的正整數(shù)n成立.
分析:(1)將條件變形,利用A,B,C三點共線,可得(y+1-lnx)-
1-x
ax
=1,從而可得結論;
(2)函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),等價于f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,分離參數(shù),即可求a的范圍;
(3)先證明lnx≥1-
1
x
,再將x用
n
n-1
替代,即可證得結論.
解答:(1)解:∵
OA
-(y+1-lnx)
OB
+
1-x
ax
OC
=
0
,
OA
=(y+1-lnx)
OB
-
1-x
ax
OC
,
∵A,B,C三點共線
∴(y+1-lnx)-
1-x
ax
=1
∴y=lnx+
1-x
ax
;
(2)解:f(x)=lnx+
1-x
ax
,∴f′(x)=
1
x
-
1
ax2

∵函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),
1
x
-
1
ax2
≥0在[1,+∞)上恒成立
a≥
1
x

1
x
≤1
,∴a≥1;
(3)證明:當a=1時,f(x)=lnx+
1
x
-1
由(2)知,x∈[1,+∞)時,f(x)≥f(1)=0
∴l(xiāng)nx≥1-
1
x
(當且僅當x=1時取“=”)
將x用
n
n-1
替代得ln
n
n-1
>1-
n-1
n
=
1
n

∴l(xiāng)n
2
1
+ln
3
2
+…+ln
n
n-1
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n

∴l(xiāng)nn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
點評:本題考查向量知識的運用,考查三點共線,考查函數(shù)的單調性,考查不等式的證明,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知A、B、C是直線l上的不同三點,O是l外一點,向量
OA
,
OB
,
OC
滿足
OA
=(
3
2
x2+1)
OB
-(lnx-y)
OC
,記y=f(x);
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)y=f(x)的單調區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

6、已知a、b、c是直線,α是平面,給出下列命題:
①若a∥b,b⊥c,則a⊥c;②若a⊥b,b⊥c,則a∥c;
③若a∥α,b?α,則a∥b;④若a⊥α,b?α,則a⊥b;
⑤若a與b異面,則至多有一條直線與a、b都垂直.
其中真命題是
①④
.(把符合條件的序號都填上)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知A、B、C是直線l上不同的三點,O是l外一點,向量
OA
,
OB
,
OC
滿足:
OA
-(
3
2
x2+1)•
OB
-[ln(2+3x)-y]•
OC
=
0
.記y=f(x).
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的解析式:
(Ⅱ)若對任意x∈[
1
6
,
1
3
]
,不等式|a-lnx|-ln[f'(x)-3x]>0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍:
(Ⅲ)若關于x的方程f(x)=2x+b在(0,1]上恰有兩個不同的實根,求實數(shù)b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a、b、c是直線,β是平面,給出下列命題:
①若a⊥b,b⊥c,則a∥c;
②若a∥b,b⊥c,則a⊥c;
③若a∥β,a?α,α∩β=b則a‖b;
④若a與b異面,且a∥β,則b與β相交;
其中真命題的序號是
②③
②③
.(要求寫出所有真命題的序號)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知A、B、C是直線l上的不同的三點,O是外一點,則向量
OA
、
OB
、
OC
滿足:
OA
OB
OC
,其中λ+μ=1.
(1)若A、B、C三點共線且有
OA
-(3x+1)•
OB
-(
3
2+3x
-y)•
OC
=
0
成立.記y=f(x),求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)若對任意x∈[
1
6
,
1
3
]
,不等式|a-lnx|-ln[f(x)-3x]>0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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