Question

2．已知在${（\frac{a}{x}-\sqrt{x}）^6}（a＞0）$的展開式中，常數項為60．
（1）求a；
（2）求含${x^{\frac{3}{2}}}$的項的系數；
（3）求展開式中所有的有理項．
（4）求展開式中系數最大的項和二項式系數最大的項．

Answer 1

分析 （1）利用二項式定理的通項公式，通過x的指數為0，求出常數項，然后解出a的值．
（2）利用二項式定理寫出含${x^{\frac{3}{2}}}$的項求r的值，然后求含${x^{\frac{3}{2}}}$的項的系數；
（3）先求得展開式的通項公式，在通項公式中令x的冪指數為有理數，求得r的值，即可求得展開式中有理項．
（4）寫出二項式的二項式系數，根據二項式系數的性質得到結果．

解答 解：（1）${（\frac{a}{x}-\sqrt{x}）^6}（a＞0）$的展開式中T_r+1=${C}_{6}^{r}$（$\frac{a}{x}$）^6-r（-$\sqrt{x}$）^r=（-1）^ra^6-r ${C}_{6}^{r}$x^6-$\frac{3r}{2}$；
$\frac{3r}{2}$-6=0⇒r=4．
∴二項式${（\frac{a}{x}-\sqrt{x}）^6}（a＞0）$的展開式中的常數項為：（-1）⁴a^6-4•${C}_{6}^{4}$=15a²=60．
∴a=±2
∵a＞0，
∴a=2．
（2）T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（$\frac{a}{x}$）^6-r•（-$\sqrt{x}$）^r═（-1）^ra^6-r．${C}_{6}^{r}$•x${\;}^{6-\frac{r}{2}}$．
依題意得$\frac{3r}{2}$-6=$\frac{3}{2}$，
則r=5．
故（-1）⁵×2×${C}_{6}^{5}$=-12為所求的項的系數；
（3）設第k+1項為有理項，則T_k+1=C₆^k•a^6-k•x^k-6•（-x）${\;}^{\frac{k}{2}}$．
∵0≤k≤6，要使k-6+$\frac{k}{2}$∈Z，只有使k分別取4，6．
∴所求的有理項應為：T₅=120，T₇=-2x³．
（4）展開式中二項式系數最大的項是第4項：${C}_{6}^{3}$$（\frac{2}{x}）$³•$（-\sqrt{x}）$³=-960x${\;}^{-\frac{3}{2}}$．
二項式的展開式的系數最大的項為第r項，
所以$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{r+1}≥{T}_{r}}\\{{T}_{r+1}≥{T}_{r+2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{6}^{r}{2}^{6-r}（-1）^{r}{≥C}_{6}^{r-1}{2}^{7-r}（-1）^{r-1}}\\{{C}_{6}^{r}{2}^{6-r}（-1）^{r}≥{C}_{6}^{r+1}{2}^{8-r}（-1）^{r+1}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{r≤5}\\{r≥4}\end{array}\right.$，
所以r=4或5，
所以展開式中系數最大的項是第4項或第5項．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題．