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2.已知在axx6a0的展開(kāi)式中,常數(shù)項(xiàng)為60.
(1)求a;
(2)求含x32的項(xiàng)的系數(shù);
(3)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).
(4)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).

分析 (1)利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式,通過(guò)x的指數(shù)為0,求出常數(shù)項(xiàng),然后解出a的值.
(2)利用二項(xiàng)式定理寫(xiě)出含x32的項(xiàng)求r的值,然后求含x32的項(xiàng)的系數(shù);
(3)先求得展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,在通項(xiàng)公式中令x的冪指數(shù)為有理數(shù),求得r的值,即可求得展開(kāi)式中有理項(xiàng).
(4)寫(xiě)出二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù),根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)果.

解答 解:(1)axx6a0的展開(kāi)式中Tr+1=Cr6ax6-r(-xr=(-1)ra6-r Cr6x6-3r2;
3r2-6=0⇒r=4.
∴二項(xiàng)式axx6a0的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為:(-1)4a6-4C46=15a2=60.
∴a=±2
∵a>0,
∴a=2.
(2)Tr+1=Cr6•(ax6-r•(-xr═(-1)ra6-rCr6•x6r2
依題意得3r2-6=32,
則r=5.
故(-1)5×2×C56=-12為所求的項(xiàng)的系數(shù);
(3)設(shè)第k+1項(xiàng)為有理項(xiàng),則Tk+1=C6k•a6-k•xk-6•(-x)k2
∵0≤k≤6,要使k-6+k2∈Z,只有使k分別取4,6.
∴所求的有理項(xiàng)應(yīng)為:T5=120,T7=-2x3
(4)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng):C362x3x3=-960x32
二項(xiàng)式的展開(kāi)式的系數(shù)最大的項(xiàng)為第r項(xiàng),
所以{Tr+1TrTr+1Tr+2,即{Cr626r1rCr1627r1r1Cr626r1rCr+1628r1r+1
解得{r5r4,
所以r=4或5,
所以展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)或第5項(xiàng).

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.

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