已知函數(shù)fn(x)=
ln(x+n)-n
x+n
+
1
n(n+1)
（其中n為常數(shù)，n∈N*），將函數(shù)fn（x）的最大值記為an，由an構成的數(shù)列{an}的前n項和記為Sn．
（Ⅰ）求Sn；
（Ⅱ）若對任意的n∈N*，總存在x∈R+使
x
ex-1
+a=an，求a的取值范圍；
（Ⅲ）比較
1
en+1+e•n
+fn(en)與an的大小，并加以證明．
分析：（Ⅰ）fn′(x)=
-ln(x+n)+n+1
(x+n)2
，令fn′（x）＞0，則x＜en+1-n．所以fn（x）在（-n，en+1-n）上遞增，在（en+1-n，+∞）上遞減．由此能求出Sn．
（Ⅱ）由n≥1，知en+1遞增，n（n+1）遞增，an=
1
en+1
+
1
n(n+1)
遞減．所以an∈(0，
1
e2
+
1
2
]，令g(x)=
x
ex-1
+a，則g′(x)=
1-x
ex-1
，故g（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減．由此入手能夠求出a的取值范圍．
（Ⅲ）作差相減
1
en+1+e•n
+fn(en)-an，得
1
en+1+e•n
+
ln(en+n)-n
en+n
+
1
n(n+1)
-
1
en+1
-
1
n(n+1)
，整理為
1
en+n
(
1
e
+ln
en+n
en
-
1
e
en+n
en
)，令t=
en+n
en
，能夠推導出
1
en+1+e•n
+fn(en)＞an．
解答：解：（Ⅰ）fn′(x)=
-ln(x+n)+n+1
(x+n)2
，（2分）
令fn′（x）＞0，則x＜en+1-n．
∴fn（x）在（-n，en+1-n）上遞增，在（en+1-n，+∞）上遞減．（4分）
∴當x=en+1-n時，fn(x)max=fn(en+1-n)=
1
en+1
+
1
n(n+1)
（5分）
即an=
1
en+1
+
1
n(n+1)
，
則Sn=
en-1
en+2-en+1
+
n
n+1
．（6分）
（Ⅱ）∵n≥1，∴en+1遞增，n（n+1）遞增，
∴an=
1
en+1
+
1
n(n+1)
遞減．
∴0＜an≤a1=
1
e2
+
1
2
，
即an∈(0，
1
e2
+
1
2
]（8分）
令g(x)=
x
ex-1
+a，則g′(x)=
1-x
ex-1
，
∴g（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減．
當x→0時，
x
ex-1
→0；
當x→+∞時，
x
ex-1
＞0；
又g（1）=1+a，
∴g（x）∈（a，1+a]（10分）
由已知得，（a，1+a]?(0，
1
e2
+
1
2
]，
∴
a≤0
1
e2
+
1
2
≤1+a
∴
1
e2
-
1
2
≤a≤0（11分）
（Ⅲ）
1
en+1+e•n
+fn(en)-an
=
1
en+1+e•n
+
ln(en+n)-n
en+n
+
1
n(n+1)
-
1
en+1
-
1
n(n+1)

=
1
e(en+n)
+
1
en+n
ln
en+n
en
-
1
en+1

=
1
en+n
(
1
e
+ln
en+n
en
-
1
e
en+n
en
)（12分）
令t=
en+n
en
，
∵g(x)=
ex+x
ex
(x≥1)，g′(x)=
1-x
ex
≤0∴g(x)在[1，+∞）上遞減．
∴1＜g(x)≤1+
1
e
，
即t∈(1，1+
1
e
]（13分）
又r(t)=
1
e
+lnt-
1
e
t，r′(t)=
1
t
-
1
e
＞0∴r(t)＞r(1)=0（14分）
∴
1
en+n
(
1
e
+ln
en+n
en
-
1
e
en+n
en
)＞0
∴
1
en+1+e•n
+fn(en)＞an（15分）
點評：本題考查導數(shù)在函數(shù)最值中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，仔細解答，注意培養(yǎng)運算能力，注意作差法的合理運用．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)fn(x)=(1+
1
n
)x（n∈N*）．
（Ⅰ）比較fn′（0）與
1
n
的大小；
（Ⅱ）求證：
f1′(1)
2
+
f2′(2)
3
+
f3′(3)
4
+…+
fn′(n)
n+1
＜3．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)fn(x)=x2+x+
12
的定義域是[n，n+1]（n是自然數(shù)），那么f1（x）的值域中共有
4
4
個整數(shù)；fn（x）的值域中共有
2n+2
2n+2
個整數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•合肥三模）已知函數(shù)fn(x)=
1
3
x3-
1
2
(n+1)x2+x(n∈N*)，數(shù)列{an}滿足an+1=f'n（an），a1=3．
（1）求a2，a3，a4；
（2）根據(jù)猜想數(shù)列{an}的通項公式，并證明；
（3）求證：
1
(2a1-5)2
+
1
(2a2-5)2
+…+
1
(2an-5)2
＜
3
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)fn(x)＝(1＋x)n－1，（n∈N*，且n＞1）．

(Ⅰ) 設函數(shù)，求的最大值和最小值

(Ⅱ) 若求證：fn(x)≥nx.

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