Question

8．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．
（1）求證：PB∥平面AEC；
（2）設(shè)AP=1，AD=2，∠ABC=60°，求點(diǎn)A到平面PBD的距離．

Answer 1

分析 （1）設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O，連EO，利用EO為三角形PBD的中位線和線面平行的判定定理即可證得PB∥平面AEC；
（2）首先計(jì)算V_P-ABD的體積，由$PB=PD=\sqrt{5}$，AB=AD=2，∠BAD=120°，求出$BD=2\sqrt{3}$，$PO=\sqrt{2}$，再由V_A-PBD=V_P-ABD，即可求出A到平面PBD的距離．

解答 （1）證明：設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O，又E是PD的中點(diǎn)，連接EO，
∵底面ABCD是菱形，∴O為BD的中點(diǎn)，
∵E為PD的中點(diǎn)，∴EO∥PB．
又EO?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC；
（2）解：${V_{P-ABD}}=\frac{1}{3}•{S_{△ABD}}•PA=\frac{1}{6}PA•AB•ADsin{120°}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$PB=PD=\sqrt{5}$，AB=AD=2，∠BAD=120°，
∴$BD=2\sqrt{3}$，$PO=\sqrt{2}$，V_A-PBD=V_P-ABD，
設(shè)A到平面PBD的距離為d，
∴$\frac{1}{3}{S_{△PBD}}d=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴A到平面PBD的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定，考查點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題．