Question

已知函數(shù)f（x）=2x²+（4-m）x+4-m，g（x）=mx，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)x，f（x）與g（x）的值至少有一個(gè)為正數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：不論m為何值，對(duì)于任一實(shí)數(shù)x，f（x）與g（x）的值至少有一個(gè)為正數(shù)，所以對(duì)m分類(lèi)討論，即m=0、m＜0、m＞0 討論f（x）與g（x）的值的正負(fù)，求出滿足題意的m的值．

解答：解：當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=2x²+4x+4，g（x）=0，
∵f（x）=2（x+1）²+2＞0，∴m=0符合題意．
若m＜0，在x＜0時(shí)，g（x）＞0，在x≥0時(shí)，g（x）≤0，
∴需要f（x）=2x²+（4-m）x+4-m＞0在[0，+∞）上恒成立．
∵

m-4

4

＜0，∴f（0）=4-m＞0，∴m＜4，∴m＜0符合題意．
若m＞0，在x＞0時(shí)，g（x）＞0，在x≤0時(shí)，g（x）≤0，
∴需要f（x）=2x²+（4-m）x+4-m＞0在（-∞，0]上恒成立．
∴

m-4 4 ≤0 △=(4-m)2-8(4-m)＜0

或

m-4 4 ＞0 f(0)=4-m＞0

∴0＜m＜4，
綜上可知m＜4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，考查分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．