Question

（普通班做） 設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+x²+ax．若f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，則a的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)可轉(zhuǎn)化成只需在（0，+∞）內(nèi)有2x²+ax+1≥0恒成立，建立不等關(guān)系，解之即可．
解答：解：f（x）的定義域為（0，+∞）．
方程2x²+ax+1=0的判別式△=a²-8，
①當△≤0，即-2 ≤a≤2 時，2x²+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，此時f（x）為增函數(shù)．
②當△＞0，即 a＜-2 或 a＞2 時，
要使f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，
只需在（0，+∞）內(nèi)有2x²+ax+1≥0即可，
設(shè)h（x）=2x²+ax+1，
由  得a＞0，所以 a＞2 ．
由①②可知，若f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，a的取值范圍是[-2 ，+∞）．
故答案為：[-2，+∞）．
點評：本題以函數(shù)為載體，主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的證明，屬于中檔題．