設數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…．

(Ⅰ)求a1，a2；

(Ⅱ)猜想數(shù)列{Sn}的通項公式，并給出嚴格的證明．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)當n＝1時，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，

　　于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝．

　　當n＝2時，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－，

　　于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝．

　　(Ⅱ)由題設(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．

　　當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　�、�

　　由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝．

　　由①可得S3＝．

　　由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…．

　　下面用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論．

　　(i)n＝1時已知結(jié)論成立．

　　(ii)假設n＝k時結(jié)論成立，即Sk＝，當n＝k＋1時，由①得Sk+1＝，即Sk+1＝，

　　故n＝k＋1時結(jié)論也成立．

　　綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝對所有正整數(shù)n都成立．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

等差數(shù)列{an}中，a1=5，a4=-1；設數(shù)列{丨an丨}的前n項和為Sn，則S6=（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d（a1∈Z，d∈Z），前n項的和為Sn，且S7=49，24＜S5＜26．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{
1an•an+1
}的前n項的和為Tn，求Tn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，Sn=nan-2n（n-1）．
（Ⅰ）求a2，a3，a4，并求出數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{{
1an•an+1
}}的前n項和為Tn，試求Tn的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，Sn=nan-2n（n-1）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求出an的表達式；
（Ⅱ）設數(shù)列{
1an•an+1
}的前n項和Tn，試求Tn的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=4-an-.

（1）試求an+1與an的關系；（2）求數(shù)列｛an｝的通項公式.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案