(2010•湖北模擬)已知數(shù)列|an|滿足:an=n+1+
8
7
an+1
,且存在大于1的整數(shù)k使ak=0,m=1+
8
7
a1

(1)用a3表示m(不必化簡)
(2)用k表示m(化成最簡形式)
(3)若m是正整數(shù),求k與m的值.
分析:(1)根據(jù)數(shù)列|an|滿足:an=n+1+
8
7
an+1
,逐一迭代可求;
(2)由于m=1+2×
8
7
+3×(
8
7
)2+…+k×(
8
7
)k-1
,所以
8
7
m=1×
8
7
+2×(
8
7
)2+3×(
8
7
)3+…+k×(
8
7
)k
,錯位相減可求;
(3)由(2)知m=49+(k-7)×
8k
7k-1
,因為,k>1時,|k-7|<7n-1,根據(jù)m∈N*故此有k-7=0,從而可求.
解答:解:(1)m=1+
8
7
a1=1+
8
7
(2+
8
7
a2)

=1+2×
8
7
+(
8
7
)2a2

=1+2×
8
7
+(
8
7
)2[3+
8
7
a3]

=1+2×
8
7
+3×(
8
7
)2+(
8
7
)3a3
…(4分)
(2)m=1+2×
8
7
+3×(
8
7
)2+…+k×(
8
7
)k-1
①…(6分)
8
7
m=1×
8
7
+2×(
8
7
)2+3×(
8
7
)3+…+k×(
8
7
)k

由①-②得-
1
7
m=1+1×
8
7
+(
8
7
)2+…+(
8
7
)k-1-k×(
8
7
)k
…(8分)
-
1
7
m=
(
8
7
)
k
-1
8
7
-1
-k×(
8
7
)k
m=49+(k-7)×
8k
7k-1
…(10分)
(3)由k>1知|k-7|<7n-1
又∵m∈N*故此有k-7=0
故k=7,m=49…(13分)
點評:本題的考點是數(shù)列遞推式,主要考查迭代法,考查錯位相減法求數(shù)列的和,關鍵是題意的等價轉化.
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0
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8
7
an+1
,且存在大于1的整數(shù)k使ak=0,m=1+
8
7
a1

(1)用k表示m(化成最簡形式);
(2)若m是正整數(shù),求k與m的值;
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