Question

已知圓M：x²+（y-2）²=1，直線l：y=-1，動(dòng)圓P與圓M相外切，且與直線l切，設(shè)動(dòng)圓圓心P的軌跡為E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)A，B是E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

OA

•

OB

=-16，求證：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,軌跡方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）根據(jù)動(dòng)圓P與直線y=-1相切，且與定圓M：x²+（y-2）²=1外切，可得動(dòng)動(dòng)點(diǎn)P到M（0，2）的距離與到直線y=-2的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)P的軌跡是拋物線，由此易得軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB：y=kx+b，將直線AB代入到x²=8y中得x²-8kx-8b=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合

OA

•

OB

=-16，求出b，即可證明直線AB恒過(guò)定點(diǎn)．

解答： （Ⅰ）解：由題意動(dòng)圓P與直線y=-1相切，且與定圓M：x²+（y-2）²=1外切
所以動(dòng)點(diǎn)P到M（0，2）的距離與到直線y=-2的距離相等
由拋物線的定義知，點(diǎn)P的軌跡是以C（0，2）為焦點(diǎn)，直線y=-2為準(zhǔn)線的拋物線
故所求P的軌跡方程為：x²=8y．   …（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)直線AB：y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線AB代入到x²=8y中得x²-8kx-8b=0，
所以x₁+x₂=8k，x₁x₂=-8b…（6分）
又因?yàn)?span id="g246roa" class="MathJye">

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+

x12x22

64

=-8b+b²=-16，
∴b=4，…（10分）
∴恒過(guò)定點(diǎn)（0，4）．             …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力，熟記拋物線的定義是求解本題的關(guān)鍵．