如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,D是AC的中點(diǎn).
(1)求證:B1C∥平面A1BD;
(2)求證:平面A1BD⊥平面ACC1A1;
(3)求二面角A-A1B-D的余弦值.
分析:(1)利用線面平行的判定定理,證明線面平行,利用三角形中位線的性質(zhì),證明線線平行即可;
(2)證明面面垂直,只需證明線面垂直,利用線面垂直的判定證明線面垂直;
(3)法一:作出二面角A-A1B-D的平面角,利用余弦定理即可求解;
法二:建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面A1BD的法向量、平面AA1B的法向量,利用向量的夾角公式,即可求解.
解答:(1)證明:連AB1交A1B于點(diǎn)E,連DE,則E是AB1的中點(diǎn),
∵D是AC的中點(diǎn),∴DE∥B1C
∵DE?平面A1BD,B1C?平面A1BD,∴B1C∥平面A1BD;
(2)證明:∵ABC-A1B1C1是正三棱柱
∴AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥BD,
∵AB=BC,D是AC的中點(diǎn),∴AC⊥BD
∵AA1∩AC=A,∴BD⊥平面ACC1A1
∵BD?平面A1BD,∴平面A1BD⊥平面ACC1A1;
 
(3)法一:設(shè)AA1=2a,∵AA1=AB,∴AE⊥BA1,且AE=
2
a
,
作AF⊥A1D,連EF
∵平面A1BD⊥平面ACC1A1,∴AF⊥平面A1BD,∴EF⊥BA1
∴∠AEF就是二面角A-A1B-D的平面角,
在△A1AD中,AF=
2
5
a
,
在△AEF中,EF=
AE2-AF2
=
2a2-
4
5
a2
=
6
5
a

cos∠AEF=
EF
AE
=
6
5
a
2
a
=
15
5
,即二面角A-A1B-D的余弦值是
15
5
.…(12分)
解法二:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),B(0,
3
a,0)
,A(-a,0,0),A1(-a,0,2a)

AA1
=(0,0,2a)
AB
=(a,
3
a,0)
,
DA1
=(-a,0,2a)
,
DB
=(0,
3
a,0)

設(shè)平面A1BD的法向量是
m
=(x,y,z)
,則
m
DA1
=-x+2z=0
m
DB
=
3
y=0
,取
m
=(2,0,1)

設(shè)平面AA1B的法向量是
n
=(x,y,z)
,則
n
AB
=x+
3
y=0
n
AA1
=2z=0
,取
n
=(
3
,-1,0)

記二面角A-A1B-D的大小是θ,則|cosθ|=|
m
n
|
m
||
n
|
|=
2
3
2
5
=
15
5
,
即二面角A-A1B-D的余弦值是
15
5
.…(12分)
點(diǎn)評:本題考查線面平行,考查面面垂直,考查面面角,考查利用向量知識解決空間角問題,正確運(yùn)用線面平行、面面垂直的判定定理是關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,若二面角C-AB-C1的大小為60°,則點(diǎn)C到平面C1AB的距離為(  )
A、
3
4
B、
1
2
C、
3
2
D、1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=1,D在棱BB1上,且BD=1,若AD與平面AA1CC1所成的角為a,則sina=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E、G分別是AB、BB1、AC1的中點(diǎn),AB=BB1=2.
(Ⅰ)在棱B1C1上是否存在點(diǎn)F使GF∥DE?如果存在,試確定它的位置;如果不存在,請說明理由;
(Ⅱ)求截面DEG與底面ABC所成銳二面角的正切值;
(Ⅲ)求B1到截面DEG的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=4,AB=2,M是AC的中點(diǎn),點(diǎn)N在AA1上,AN=
14

(Ⅰ)求BC1與側(cè)面ACC1A1所成角的大小;
(Ⅱ)求二面角C1-BM-C的正切值;
(Ⅲ)證明MN⊥BC1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•馬鞍山二模)如圖,在正三棱柱ABC一DEF中,AB=2,AD=1,P是CF的延長線上一點(diǎn),過A、B、P三點(diǎn)的平面交FD于M,交EF于N.
(I)求證:MN∥平面CDE:
(II)當(dāng)平面PAB⊥平面CDE時,求三梭臺MNF-ABC的體積.

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