Question

6．如圖，在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AE=1，CD與平面ABDE所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．
（Ⅰ）若F是線(xiàn)段CD的中點(diǎn)，證明：EF⊥面DBC；
（Ⅱ）求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

分析 （I）取BC的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連結(jié)AM，F(xiàn)M，CN，DN，則∠CDN為CD與平面ABDE所成的角，根據(jù)CN的值計(jì)算CD，得出BD．于是AE與FM均與$\frac{1}{2}$BD平行且相等．得出四邊形AMFE是平行四邊形，故EF∥AM，由面面垂直的性質(zhì)得出AM⊥平面BCD，故EF⊥平面BCD；
（II）多面體的體積為四棱錐C-ABDE的體積，底面為直角梯形，高為CN．

解答 解：（Ⅰ）證明：取BC的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連結(jié)AM，F(xiàn)M，CN，DN
∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
∴CN⊥AB，CN=$\sqrt{3}$，BN=1．
∵BD⊥平面ABC，CN?平面ABC，
∴BD⊥CN，又AB?平面ABDE，BD?平面ABDE，AB∩BD=B，
∴CN⊥平面ABDE．
同理可證：AM⊥平面BCD．
∴∠CDN為CD與平面ABDE所成的角．
∴sin∠CDN=$\frac{CN}{CD}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，∴CD=2$\sqrt{2}$．∴BD=$\sqrt{C{D}^{2}-B{C}^{2}}$=2．
∵F是PC的中點(diǎn)，
∴FM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}BD$=1，又AE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}BD$．
∴四邊形AMFE是平行四邊形，
∴EF∥AM．
∵AM⊥面DBC，
∴EF⊥面DBC．
（Ⅱ）V_C-ABDE=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABDE}•CN$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)面垂直的判定，面面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．