Question

在極坐標系中，已知三點O（0，0），A（2，

π

2

），B（2

2

，

π

4

）．
（Ⅰ）求經(jīng)過O，A，B的圓C的極坐標方程
（Ⅱ）以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，圓C₂的參數(shù)方程

x=-1+acosθ y=-1+asinθ

（θ是參數(shù)），若圓C₁與圓C₂相切，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：選作題,坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）設（ρ，θ）是所求圓上的任意一點，則由OP=OBcos（θ-

π

4

），求出圓的極坐標方程；
（Ⅱ）圓C₁的普通方程是：（x-1）²+（y-1）²=2，圓C₂的普通方程為：（x+1）²+（y+1）²=a²．圓C₁與圓C₂相切，分為外切的內(nèi)切兩種情況討論，利用圓心距與半徑之間的關系建立方程，求實數(shù)a的值．

解答： 解：（Ⅰ）設（ρ，θ）是所求圓上的任意一點，
則OP=OBcos（θ-

π

4

），
故所求的圓的極坐標方程為ρ=2

2

cos（θ-

π

4

）；
（Ⅱ）圓C₁的方程為ρ=2

2

cos（θ-

π

4

）的直角坐標方程為：（x-1）²+（y-1）²=2，
圓心C₁（1，1），半徑r₁=

2

，
圓C₂的參數(shù)方程

x=-1+acosθ y=-1+asinθ

（θ是參數(shù)）的普通方程為：（x+1）²+（y+1）²=a²．
圓心距C₁C₂=2

2

，
兩圓外切時，C₁C₂=r₁+r₂=

2

+|a|=2

2

，a=±

2

； 
兩圓內(nèi)切時，C₁C₂=|r₁-r₂|=|

2

-|a||=2

2

，a=±3

2

．
綜上，a=±

2

或a=±3

2

．

點評：本題主要考查求圓的極坐標方程的方法，考查參數(shù)方程化成普通方程、簡單曲線的極坐標方程、圓與圓的位置關系及其應用，屬于基礎題．