Question

2．已知圓C過(guò)點(diǎn)P（1，1），且與圓M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱(chēng)．
（1）求圓C的方程；
（2）求過(guò)Q（-3，2）的圓C的切線方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓心C的坐標(biāo)，由圓心M與圓心C關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱(chēng)，列出方程組求出圓心C，再求半徑r，即可寫(xiě)出圓C的方程；
（2）設(shè)過(guò)Q的圓C的切線方程為y-2=k（x+3），由圓心C到切線的距離d=r，列出方程求出斜率k，再寫(xiě)出切線方程．

解答 解：（1）設(shè)圓心C為（a，b），由圓心M（-2，-2）與圓心C關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱(chēng)，
得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-2}{2}+\frac{b-2}{2}+2=0}\\{\frac{b+2}{a+2}=1}\end{array}\right.$，
解得a=0，b=0；
所以圓C的方程為x²+y²=r²，
將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得r²=2，
所以圓C的方程為x²+y²=2；
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)過(guò)Q（-3，2）的圓C的切線方程為y-2=k（x+3），
即kx-y+3k+2=0，
則圓心C（0，0）到該切線的距離為d=r，
即$\frac{|3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
化簡(jiǎn)得7k²+12k+2=0，
解得k=$\frac{-6-\sqrt{22}}{7}$或k=$\frac{-6+\sqrt{22}}{7}$，
所求的切線方程為$\frac{-6-\sqrt{22}}{7}$x-y+$\frac{-4-3\sqrt{22}}{7}$=0，
或$\frac{-6+\sqrt{22}}{7}$x-y+$\frac{-4+3\sqrt{22}}{7}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線和圓的方程的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了點(diǎn)到直線的距離公式以及關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圓的方程問(wèn)題，是綜合性題目．