三棱錐P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=
13
，PB=
29
，求PC與AB所成角的余弦值．
分析：利用勾股定理即可得出線段AB，PA，PC的長，進而得到cos∠BAC，cos∠ACP，利用向量及其數(shù)量積運算可得
BP
=
BA
+
AC
+
CP
及
BP
2=(
BA
+
AC
+
CP
)2，解出即可．
解答：解：如圖所示，
∵∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=
AC2+BC2
=
22+(
13
)2
=
17
，
cos∠BAC=
AC
AB
=
2
17
=
2
17
17
，cos＜
BA
，
AC
＞=-
2
17
17
；
在Rt△ABP中，由勾股定理可得PA=
PB2-AB2
=
(
29
)2-(
17
)2
=2
3
；
在Rt△APC中，由勾股定理可得PC=
AC2+PA2
=
22+(2
3
)2
=4，
cos∠ACP=
AC
CP
=
2
4
=
1
2
，cos＜
AC
，
CP
＞=-
1
2
．
∵
BP
=
BA
+
AC
+
CP
，好
∴
BP
2=(
BA
+
AC
+
CP
)2=
BA
2+
AC
2+
CP
2+2
BA
•
AC
+2
BA
•
CP
+2
AC
•
CP
，
∴(
29
)2=(
17
)2+22+42+2×
17
×2cos＜
BA
，
AC
＞+2×
17
×4cos＜
BA
，
CP
＞+2×2×4×cos＜
AC
，
CP
＞，
即29=17+4+16+4
17
×(-
2
17
17
)+8
17
cos＜
BA
，
CP
＞+16×(-
1
2
)．
化為cos＜
BA
，
CP
＞=
17
17
．
∴異面直線PC與AB所成角的余弦值為
17
17
．
點評：熟練掌握勾股定理、直角三角形的邊角關(guān)系、向量及其數(shù)量積運算可得
BP
=
BA
+
AC
+
CP
及
BP
2=(
BA
+
AC
+
CP
)2是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐P-ABC中，△PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90°．
（1）證明：AB⊥PC；
（2）若PC=4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱錐P-ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=
π2
，PA=2，AB=AC=4，點D、E、F分別為BC、AB、AC的中點．
（I）求證：EF⊥平面PAD；
（II）求點A到平面PEF的距離；
（III）求二面角E-PF-A的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）當(dāng)k=
12
時，求直線PA與平面PBC所成角的大��；
（Ⅱ）當(dāng)k取何值時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC為正三角形，D、E、F分別是BC，PB，CA的中點．
（1）證明平面PBF⊥平面PAC；
（2）判斷AE是否平行于平面PFD，并說明理由；
（3）若PC=AB=2，求三棱錐P-DEF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正三棱錐P-ABC中，M，N分別是PB，PC的中點，若截面AMN⊥側(cè)面PBC，則此棱錐截面與底面所成的二面角正弦值是
6
6
6
6
．

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同步練習(xí)冊答案