已知函數(shù)f(t)=at2-
b
t+
1
4a
(t∈R,a<0)的最大值為正實(shí)數(shù),集合A={x|
x-a
x
<0},集合B={x|x2<b2}.
(1)求A和B;
(2)定義A與B的差集:A-B={x|x∈A且x∉B}.設(shè)a,b,x均為整數(shù),且x∈A.P(E)為x取自A-B的概率,P(F)為x取自A∩B的概率,寫(xiě)出a與b的二組值,使P(E)=
2
3
,P(F)=
1
3

(3)若函數(shù)f(t)中,a,b是(2)中a較大的一組,試寫(xiě)出f(t)在區(qū)間[n-
2
8
,n]上的最大值函數(shù)g(n)的表達(dá)式.
分析:(1)先函數(shù)f(t)進(jìn)行配方,根據(jù)函數(shù)f(t)的最大值為正實(shí)數(shù)可確定b的范圍,然后分別求出集合A和集合B即可;
(2)要使P(E)=
2
3
,P(F)=
1
3
.分為二種情形,第一種A中有3個(gè)元素,A-B中有2個(gè)元素,A∩B中有1個(gè)元素,求出a,b即可,第二種,A中有6個(gè)元素,A-B中有4個(gè)元素,A∩B中有2個(gè)元素,可求出a,b的值.
(3)根據(jù)(2)先求出函數(shù)f(t)的解析式,討論對(duì)稱軸與區(qū)間[n-
2
8
,n]的位置關(guān)系,然后分別求出函數(shù)的最大值,最后用分段函數(shù)表示即可.
解答:解:(1)∵f(t)=at2-
b
t+
1
4a
(t∈R)
,
配方得f(t)=a(t-
b
2a
)2+
1-b
4b
,
由a<0得最大值
1-b
4a
>0
⇒b>1.(3分)
∴A={x|a<x<0},B={x|-b<x<b}.(6分)
(2)要使P(E)=
2
3
,P(F)=
1
3
.可以使①A中有3個(gè)元素,
A-B中有2個(gè)元素,A∩B中有1個(gè)元素.則a=-4,b=2.(9分)
②A中有6個(gè)元素,A-B中有4個(gè)元素,A∩B中有2個(gè)元素.則A=-7,B=3(12分)
(3)由(2)知f(t)=-4t2-
2
t-
1
16
(t∈[n-
2
8
,n])
(13分)

g(n)=
-4n2-
2
n-
1
16
,n<-
2
8
1
16
   -
2
8
≤n≤ 0
-4n2+
1
16
   n>0
(18分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義,以及分段函數(shù)和古典概型及其概率計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a•lnx+b•x2在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x-y-1=0.
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)若f(x)滿足f(x)≥g(x)恒成立,則稱f(x)是g(x)的一個(gè)“上界函數(shù)”,如果函數(shù)f(x)為g(x)=
t
x
-lnx
(t為實(shí)數(shù))的一個(gè)“上界函數(shù)”,求t的取值范圍;
(3)當(dāng)m>0時(shí),討論F(x)=f(x)+
x2
2
-
m2+1
m
x
在區(qū)間(0,2)上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(t)=|t+1|-|t-3|
(I)求f(t)>2的解集;
(II)若a>0,g(x)=ax2-2x+5,若對(duì)任意實(shí)數(shù)x、t,均有g(shù)(x)≥f(t)恒成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)在R上總為增函數(shù);
(2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)當(dāng)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)時(shí),若對(duì)任意的t∈R,不等式f(mt2+1)+f(1-mt)>0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•麗水一模)設(shè)向量
a
=(cosωx-sinωx,-1),
b
=(2sinωx,-1),其中ω>0,x∈R,已知函數(shù)f(x)=
a
b
的最小正周期為4π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)若sinx0是關(guān)于t的方程2t2-t-1=0的根,且x0∈(-
π
2
,
π
2
)
,求f(x0)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(t)=
1-t
1+t
,g(x)=cosx•f(sinx)+sinx•f(cosx),x∈(π,
17π
12
]
(1)將函數(shù)g(x)化簡(jiǎn)成Asin(ωx+φ)+B,(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))的形式.
(2)求函數(shù)g(x)的值域,
(3)已知函數(shù)g(x)與函數(shù)y=h(x)關(guān)于x=π對(duì)稱,求函數(shù)y=h(x)的解析式.

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同步練習(xí)冊(cè)答案