Question

2．已知過定點M（-3，-3）的直線l與圓x²+y²+4x-21=0交于A、B兩點
（1）當弦AB的長最短時，求直線l的方程；
（2）當弦AB的長為4$\sqrt{5}$時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）因為弦AB的長最短時，CM⊥AB，k_CM=$\frac{1}{3}$，所以k_AB=-3，即可求直線l的方程．
（2）若|AB|=4$\sqrt{5}$，求出圓心到弦的距離，利用勾股定理，求出k，即可求直線l的方程；

解答 解：（1）圓x²+y²+4y-21=0即x²+（y+2）²=25
即圓心坐標為C（0，-2），半徑為r=5，
因為弦AB的長最短時，CM⊥AB，k_CM=$\frac{1}{3}$，所以k_AB=-3，
所以直線l的方程為y+3=-3（x+3），即3x+y+12=0．
（2）設(shè)直線方程為y+3=k（x+3），化簡得kx-y-3+3k=0
圓心到弦的距離為$\frac{|-1+3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
直線l被圓x²+y²+4y-21=0所截得的弦長為4$\sqrt{5}$，
所以（2$\sqrt{5}$）²+（$\frac{|-1+3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$）²=5²，解得k=2或k=-$\frac{1}{2}$
所以直線方程為2x-y+3=0或x+2y+9=0．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．