Question

已知函數(shù)f（x）=bx，g（x）=ax²+1，h（x）=lnx．（a，b∈R）
（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范圍；
（2）設(shè)，且b＜0，試判斷函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（3）試證明：對?n∈N^*，不等式恒成立．

Answer 1

解：（1）解法1：不等式f（x）+g（x）≥0即ax²+bx+1≥0
由-1∈M，2∈M得----------------（2分）
畫出不等式組所確定的可行域如右圖示：作平行線族b=3a-z
可見當(dāng)a=-0.5，b=0.5時(shí)z有最小值，，z_min=-2
∴z的取值范圍為z≥-2．----------------------------------------（4分）
解法2：令h（x）=f（x）+g（x）由-1∈M，2∈M得h（-1）≥0，h（2）≥0
由得-------------------------（2分）
∴
∵h(yuǎn)（-1）≥0，h（2）≥0∴3a-b≥-2，即z的取值范圍為z≥-2．------------（4分）]
（2）∵∴-----------------------------------（6分）
令F'（x）=0得1-lnx=0
∴x=e------------------------------------------------------------（7分）
∵當(dāng)0＜x＜e時(shí)，當(dāng)x＞e時(shí)F'（x）＞0
∴函數(shù)F（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，在[e，+∞）上單調(diào)遞增--------------------------（9分）
（3）證法1：由（2）知當(dāng)x=e時(shí)函數(shù)有最小值
∴在（0，+∞）上恒有，------------------------------------------------（11分）
∵b＜0∴當(dāng)且僅當(dāng)x=e時(shí)“=”成立
∴對任意的x∈（0，+∞）恒有--------------------------------------------------（12分）
∵且∴
即對?n∈N^*，不等式恒成立．-----------------------------------------（14分）
〔證法2：構(gòu)造函數(shù)，x∈（0，+∞）----------------------------------------（10分）
令=0得x=e
∵當(dāng)0＜x＜e時(shí)p'（x）＞0，當(dāng)x＞e時(shí)p'（x）＜0
∴函數(shù)p（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，在[e，+∞）上單調(diào)遞減----------------------（12分）
當(dāng)x=e時(shí)函數(shù)p（x）有最大值p（x）_max=p（e）=0
∴對任意的x∈（0，+∞）恒有，即
∵且∴
即對?n∈N^*，不等式恒成立．-----------------------------------------（14分）
分析：（1）解法一：由f（x）+g（x）≥0，}，-1∈M，2∈M，我們易得，然后利用線性規(guī)劃，求出目標(biāo)函數(shù)z=3a-b的取值范圍；
解法二：令h（x）=f（x）+g（x）由-1∈M，2∈M得h（-1）≥0，h（2）≥0，分別用h（-1），h（2）表示a，b，進(jìn)而根據(jù)不等式的性質(zhì)，得到z的取值范圍；
（2）由已知中，且b＜0，我們可以分別求出函數(shù)F（x）的解析式及其導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)學(xué)判斷出函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（3）證法一：由（2）中結(jié)論，可得在（0，+∞）上恒有，即，進(jìn)而根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)證得答案．
證法二：構(gòu)造函數(shù)，x∈（0，+∞），利用導(dǎo)數(shù)法，可以證得p（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，在[e，+∞）上單調(diào)遞減，即對任意的x∈（0，+∞）恒有，即進(jìn)而根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)證得答案．
點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡單線性規(guī)劃，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)性質(zhì)類問題中比較難的類型，而且還綜合和對數(shù)的性質(zhì)，不等式的證明等難點(diǎn)，屬高難度題型．