Question

3．若關(guān)于x的不等式|2^x-m|-$\frac{1}{{2}^{x}}$＜0在區(qū)間[0，1]內(nèi)恒成立，則實數(shù)m的范圍$\frac{3}{2}＜m＜2$．

Answer 1

分析 去絕對值，把不等式|2^x-m|-$\frac{1}{{2}^{x}}$＜0在區(qū)間[0，1]內(nèi)恒成立轉(zhuǎn)化為${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}＜m＜{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$在區(qū)間[0，1]內(nèi)恒成立，利用函數(shù)的單調(diào)性分別求出不等式兩邊得最大值和最小值得答案．

解答 解：由|2^x-m|-$\frac{1}{{2}^{x}}$＜0，得|2^x-m|＜$\frac{1}{{2}^{x}}$，
∴$-\frac{1}{{2}^{x}}＜{2}^{x}-m＜\frac{1}{{2}^{x}}$，
即${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}＜m＜{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$在區(qū)間[0，1]內(nèi)恒成立，
∵函數(shù)f（x）=${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$在區(qū)間[0，1]內(nèi)單調(diào)遞增，∴f（x）的最大值為$\frac{3}{2}$；
令g（x）=${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$，t=2^x（1≤t≤2），
則y=t+$\frac{1}{t}$在[1，2]上為增函數(shù)，由內(nèi)函數(shù)t=2^x為增函數(shù)，
∴g（x）=${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$在區(qū)間[0，1]內(nèi)單調(diào)遞增，g（x）的最小值為2．
∴$\frac{3}{2}＜m＜2$．
故答案為：$\frac{3}{2}＜m＜2$．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，訓練了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，是中檔題．