已知數(shù)列{xn}滿足：x1=1，xn+1=
5(1+xn)
5+xn
(n∈N*)．
（1）證明：xn＜xn+1（n∈N*）；
（2）證明：
5
-xn＜2•(
4
5
)n-1(n∈N*)．
分析：（1）由條件xn+1-xn=
20
(5+xn)(5+xn-1)
•(xn-xn-1)，故只需判斷其大于0即可；
（2）構(gòu)造an=
xn+
5
xn-
5
，利用分析法證明，欲證
5
-xn＜2•(
4
5
)n-1(n∈N*)，即證
5
-xn＜2•(
4
5
)n-1，從而可證．
解答：解：（1）證明：xn+1-xn=
20
(5+xn)(5+xn-1)
•(xn-xn-1)由條件，顯然xn＞0，∴xn+1-xn，xn-xn-1符號(hào)相同，依次迭代可知，∴xn+1-xn，x2-x1符號(hào)相同，而x2-x1＞0，∴xn+1-xn＞0，即xn＜xn+1（n∈N*）；
（2）令an=
xn+
5
xn-
5
，∴
an+1
an
= 
5
+1
5
-1
，∴an=-(
5
+1
5
-1
)n，∴an-1=-(
5
+1
5
-1
)n-1，∴
5
-xn=
2
5
1+(
5
+1
5
-1
)n

欲證
5
-xn＜2•(
4
5
)n-1(n∈N*)，即證
5
-xn＜2•(
4
5
)n-1，即證
1
5
+
3+
5
2
5
•(
3+
5
2
)n-1＞(
4
5
)n-1
∵
3+
5
2
5
＞ 1， (
3+
5
2
)n-1＞(
4
5
)n-1，∴
3+
5
2
5
•(
3+
5
2
)n-1＞(
4
5
)n-1，∴
1
5
+
3+
5
2
5
•(
3+
5
2
)n-1＞(
4
5
)n-1得證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分析法的證明過(guò)程．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

10、已知數(shù)列{xn}滿足xn+1=xn-xn-1（n≥2），x1=a，x2=b，Sn=x1+x2+…+xn，則下面正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{xn}滿足x2=
1
2
x1，xn=
1
2
（xn-1+xn-2）（n=3，4，5，…），若
lim
n→∞
xn=2，則x1=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}中，如果存在非零常數(shù)T，使得an+T=an對(duì)于任意的非零自然數(shù)n均成立，那么就稱數(shù)列{an}為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{an}的周期．已知數(shù)列{xn}滿足xn+1=|xn-xn-1|（n≥2），如果x1=1，x2=a（a∈R，a≠0），當(dāng)數(shù)列{xn}的周期為3時(shí)，求該數(shù)列前2009項(xiàng)和是
1339+a
1339+a
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{xn}滿足：x1=1且xn+1=
xn+4
xn+1
，n∈N*．
（1）計(jì)算x2，x3，x4的值；
（2）試比較xn與2的大小關(guān)系；
（3）設(shè)an=|xn-2|，Sn為數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，求證：當(dāng)n≥2時(shí)，Sn≤2-
2
2n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{xn}滿足：x1∈(0，1)，xn+1=
xn(
x
2
n
+3)
3
x
2
n
+1
(n∈N*）．
（1）證明：對(duì)任意的n∈N*，恒有xn∈（0，1）；
（2）對(duì)于n∈N*，判斷xn與xn+1的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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