Question

已知函數(shù)f（x）=（1+x）•e^-2x，g（x）=ax-x²+1+x•cosx．
（1）若f（x）在x=-1處的切線與g（x）在x=0處的切線互相垂直，求a的值；
（2）求證（1+x）•e^-x≥（1-x）•e^x，x∈[0，1]；
（3）求證：當(dāng)a≤-2時，f（x）≥g（x）在區(qū)間[0，1]上恒成立．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，結(jié)合f（x）在x=-1處的切線與g（x）在x=0處的切線互相垂直，求a的值；
（2）設(shè)F（x）=（1+x）e^-x-（1-x）e^x，證明f（x）在x∈[0，1]時，為單調(diào)遞增函數(shù)，即可證明結(jié)論；
（3）證明f（x）-g（x）≥x（x-cosx-1-a）≥0恒成立即可．

解答： （1）解：∵f（x）=（1+x）•e^-2x，
∴f'（x）=（-2x-1）e^-2x，f（-1）=e²；
∵g（x）=ax-x²+1+x•cosx，
∴g'（x）=a-2x+cosx-x•sinx，g'（0）=a+1，
∵f（x）在x=-1處的切線與g（x）在x=0處的切線互相垂直，
∴e2(a+1)=-1∴a=-

1

e2

-1；
（2）證明：設(shè)F（x）=（1+x）e^-x-（1-x）e^x，則F'（x）=xe^x（1-e^-2x），
當(dāng)x∈（0，1]時，F(xiàn)'（x）≥0恒成立，∴f（x）在x∈[0，1]時，為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴F（x）_min=f（0）=0，
∴（1+x）e^-x-（1-x）e^x≥0恒成立，
∴（1+x）e^-x≥（1-x）e^x
（3）證明：由（2）可得e-2x≥

1-x

1+x

，
f（x）-g（x）=（1+x）•e^-2x-（ax-x²+1+x•cosx）≥1-x-（ax-x²+1+x•cosx）=-（1+a）x+x²-x•cosx=x（x-cosx-1-a）
設(shè)G（x）=x-cosx-1-a，則G'（x）=1+sinx，x∈（0，1]，G'（x）＞0恒成立，
∴x∈[0，1]時，G（x）≥G（0）=-2-a，
又∵a≤-2，∴G（x）≥0恒成立，
∴f（x）-g（x）≥x（x-cosx-1-a）≥0恒成立，
∴f（x）≥g（x）恒成立．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查構(gòu)造函數(shù)，考查不等式的證明，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵．