Question

如圖，線段AB=8，點C在線段AB上，且AC=2，P為線段BC上的一動  點，點A繞點C旋轉后與點B繞點P旋轉后重合于點D，設CP=x，△PCD的面積為f（x），則f（x）的最大值為

2

2

．

Answer 1

分析：本題要根據(jù)實際情況計算出定義域與函數(shù)的零點，可以看出所給的條件是△CPD，故可根據(jù)其是三角形求出自變量的范圍．面積表達式可以用海倫公式求出，對所得的函數(shù)求導，令導數(shù)為0，根據(jù)函數(shù)的單調性可求出函數(shù)的最大值．

解答：解：三角形的周長是一個定值8，故其面積可用海倫公式表示出來即f（x）=

4×(4-x)×(4-6+x)×2

=

-8x2+48x-64

，
∴f′（x）=

-16x+48

-8x2+48x-64

由題意，DC=2，CP=x，DP=6-x
∵△CPD為f（x），∴

2+x＞6-x 2+6-x＞x x+6-x＞2

解得x∈（2，4）
令 f′（x）=0，解得x=3
∵x∈（2，3）f'（x）＞0，x∈（3，4）f'（x）＜0
∴f（x）的最大值為f（3）=2

2

故答案為2

2

．

點評：本題考查根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型，本題中求函數(shù)解析式用到了海倫公式，學習中積累一些知識儲備，視野開闊，易找出簡單的解題方法．本題考查到了復合函數(shù)求導公式，有一定的綜合性．