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17.如圖,已知橢圓M:x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率為32,且經(jīng)過過點P(2,1).
(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓M上異于頂點的任意兩點,直線OA,OB的斜率分別為k1,k2,且k1k2=-14
①求x12+x22的值;
②設(shè)點B關(guān)于x軸的對稱點為C(點C,A不重合),試求直線AC的斜率.

分析 (1)運用橢圓的離心率公式和P的坐標(biāo)滿足橢圓方程,結(jié)合a,b,c的關(guān)系,解方程可得橢圓方程;
(2)①運用直線的斜率公式,可得k1k2=y1y2x1x2=-14,兩邊平方,再由點A,B的坐標(biāo)滿足橢圓方程,化簡整理即可得到所求值;
②由題意可得C(x2,-y2),運用橢圓方程可得y12+y22=32,配方可得(y1+y22=12(3+4y1y2),(x1-x22=6-2x1x2=6+8y1y2,再由直線的斜率公式,化簡整理,即可得到所求值.

解答 解:(1)由題意可得e=ca=32,4a2+12=1,a2-b2=c2,
解得a=22,b=2
可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+y22=1;
(2)①由題意可得k1k2=y1y2x1x2=-14,
即為x12x22=16y12y22
又點A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓M上異于頂點的任意兩點,
可得4y12=8-x12,4y22=8-x22,
即有x12x22=(8-x12)(8-x22),
化簡可得x12+x22=8;
②由題意可得C(x2,-y2),
由4y12=8-x12,4y22=8-x22,
可得y12+y22=16x12+x224=2,
由x12+x22=(x1-x22+2x1x2=8,
可得(x1-x22=8-2x1x2,
由y12+y22=(y1+y22-2y1y2=2,
可得(y1+y22=2+2y1y2=12(1+y1y2),
y1y2x1x2=-14,即x1x2=-4y1y2,
可得(x1-x22=8-2x1x2=8+8y1y2,
則直線AC的斜率為kAC=y1+y2x1x2121+y1y281+y1y214

點評 本題考查橢圓的方程的求法,注意運用橢圓的離心率公式和點滿足橢圓方程,考查直線的斜率的求法,注意運用點滿足橢圓方程,直線的斜率公式和兩邊平方及配方的思想方法,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

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