如圖,在長方體中,、分別是棱,

上的點,,

(1)   求異面直線所成角的余弦值;

(2)   證明平面

(3)   求二面角的正弦值。

 

 

【答案】

 【解析】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識,考查用空間向量解決立體幾何問題的方法,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力,滿分12分。

方法一:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,

點A為坐標(biāo)原點,設(shè),依題意得,

,,

(1)   解:易得,

于是

  所以異面直線所成角的余弦值為

(2)   證明:已知,,

于是·=0,·=0.因此,,,又

所以平面

(3)解:設(shè)平面的法向量,則,即

不妨令X=1,可得。由(2)可知,為平面的一個法向量。

于是,從而

所以二面角的正弦值為

方法二:(1)解:設(shè)AB=1,可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=

鏈接B1C,BC1,設(shè)B1C與BC1交于點M,易知A1D∥B1C,由,可知EF∥BC1.故是異面直線EF與A1D所成的角,易知BM=CM=,所以 ,所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為

(2)證明:連接AC,設(shè)AC與DE交點N 因為,所以,從而,又由于,所以,故AC⊥DE,又因為CC1⊥DE且,所以DE⊥平面ACF,從而AF⊥DE.

連接BF,同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因為,所以AF⊥平面A1ED

(3)解:連接A1N.FN,由(2)可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF,所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故為二面角A1-ED-F的平面角

易知,所以,又所以,在

連接A1C1,A1F 在

。所以

所以二面角A1-DE-F正弦值為

 

 

 

 

 

 

 

 

練習(xí)冊系列答案
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如圖,在長方體中,AB=AD=2
3
,CC1=
2
,則二面角C1-BD-C的大小為( 。

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(08年惠州一中四模理) 如圖,在長方體中,,點E在棱上移動。

(Ⅰ)證明:

(Ⅱ)當(dāng)E為的中點時,求點E到面的距離;

(Ⅲ)等于何值時,二面角 的大小為。

 

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(1)證明:;

(2)等于何值時,二面角的大小為.

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如圖,在長方體中,與平面所成角的正弦值為 (  )

A.             B.            C.            D.

 

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